álgebra semisimple

Question

Acabo de publicar esto en overflow.... simplemente no puedo entenderlo.

¿Existe una demostración directa de lo siguiente sin pasar por las series de composición o el teorema de Artin-Wedderburn?

Sea V un espacio de Hilbert complejo de dimensión finita. Sea AEnd(V) una subálgebra autoadjunta. Entonces A es semisimple.

Utilizo la siguiente definición de álgebra semisimple: el álgebra semisimple es una suma directa de álgebras simples, y un álgebra simple es aquella que no tiene ideales de dos lados más que 0 y ella misma. ¡gracias!

En el desbordamiento se dijo que las hipótesis implican que V se descompone como una suma directa de módulos simples... no lo veo.

Answer 1

Dejemos que $V$ sea un espacio de Hilbert de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ y que $A \subset \mathrm{End}(V)$ sea una subálgebra autoadjunta. Para demostrar que $V$ es semisimple, basta con demostrar que cualquier submódulo $W \subset V$ (es decir, sub $A$ -) tiene un complemento: es decir, que existe un submódulo $W^{\perp} \subset V$ tal que $W \oplus W^{\perp} = V$ . (Si lo supiéramos, podríamos tomar $W$ sea la suma de los submódulos simples de $V$ ; si $W$ no eran $V$ podríamos tomar un submódulo simple de $W^{\perp}$ para obtener una contradicción). Utilizando las hipótesis de auto-unión, basta en este caso con tomar $W^{\perp}$ para ser el complemento ortogonal de $W$ .

Este punto de vista puede utilizarse para demostrar que una representación continua de un grupo compacto (por ejemplo, finito) sobre $\mathbb{C}$ es automáticamente semisimple, porque siempre se puede elegir un producto interno invariante: elegir primero cualquier producto interno y luego promediar sobre el grupo.