Relación entre primos, triángulos rectos y polinomios homogéneos

Question

Se sabe que si $x^2 + y^2 = z^2$ es un triplete pitagórico primitivo entonces $z$ no es divisible por ningún primo de la forma $4k-1$ . La siguiente es una generalización de este resultado clásico que muestra que el origen de esta propiedad no es la hipotenusa $z$ pero los dos lados ortogonales $x$ y $y$ :

Conjetura : Dejemos que $f(x,y) = a_0x^n + a_1 x^{n-1}y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_ny^n$ , $n \ge 2, a_0a_n \ne 0$ . Entonces hay infinitos primos de la forma $8k+3$ que no dividen $f(x,y)$ para cualquier triplete pitagórico primitivo $x^2 + y^2 = z^2$ .

Preguntas :

1. ¿Se conoce la conjetura? Estoy buscando una prueba o refutación de la conjetura.
2. ¿O podemos demostrar el caso más sencillo de $x^n +y^n$ ?

Actualización 1 : Si se ha demostrado para el caso especial $x+y$ (en la respuesta siguiente) y ya se sabe que es cierto para $x^2 + y^2$ . Los datos experimentales muestran que $x^3 + y^3$ no es divisible por infinitos primos de la forma $8k+3$ mientras que $x^4 + y^4$ no es divisible por infinitos primos de la forma $8k+3, 8k+5$ y $8k+7$ .

Actualización 2 : Publicado en MO ya que el caso general de la conjetura está abierto

Código Sagemath

r = 2
fac = prime_factors(1)

while r <= 200:
    s = 1 + r%2
    while(s < r):
        if gcd(s,r)== 1:
            b = r^2 - s^2
            c = 2*r*s
            # t = 5*b^3 +7*b^1*c^2 + 5*b^2*c^1 + 2*c^3
            # t = b^4 - 3*b^1*c^3 - b^2*c^2 - 1*c^4
            # t = b^2 - 11*b*c - c^2
            t = b + c
            fac = fac + prime_factors(t)
            fac = list(dict.fromkeys(fac))
        s = s + 2
    r = r + 1

fac  = sorted(fac)
fac2 = fac
fac  = fac[:floor(0.5*len(fac))]

P = Primes()
prime = P[:prime_pi(max(fac))]

diff = list(set(prime) - set(fac))
diff = sorted(diff)
print diff

Answer 1

Para un triángulo pitagórico primitivo, hay enteros $m,n > 0$ con $\gcd(m,n) = 1$ y $m,n$ no ambos impar, de modo que $x+y$ es igual a $$ m^2 + 2mn - n^2 $$ Se trata de una forma cuadrática binaria indefinida de discriminante $8,$ que tiene la clase número uno. Por lo tanto, la forma es equivalente a $$ u^2 - 2 v^2, $$ y cualquier primo $$ q \equiv 3,5 \pmod 8 $$ no es capaz de dividir dicha forma sin dividir ambas variables. El caso especial del primo $2$ se encarga de la condición de que $m+n$ ser impar.