Una aplicación bi-lipschitziana

Question

Decimos que $\Omega$ es un dominio en forma de estrella (con respecto al origen) de $\mathbb R ^n$ si :

$$\Omega = \{x\in \mathbb R ^n : \left \| x \right \| < g(\frac{x}{\left \| x \right \|})\}\; \text{and}\;\; \partial \Omega = \{x\in \mathbb R ^n : \left \| x \right \| = g(\frac{x}{\left \| x \right \|})\} $$ con $g$ es una función continua y positiva en la esfera unitaria S.

Demostré que hay una $\mathcal C^1$ difeomorfismo entre $\Omega$ y la bola unitaria (norma euclidiana $\left \| . \right \|_{2}$ ). $$\begin{array}{ccccc} \Phi & : & B & \to & \Omega \\ & & y & \mapsto & y\;h(\frac{y}{\left \| y \right \|}) \\ \end{array}$$ $\Phi$ tienen algunas propiedades:

- $\Phi$ está bien definida.

- $\Phi(\partial B)=\partial \Omega$ .

- $\Phi$ es una biyección.

- $\Phi$ es una función suave.

Ahora me gustaría demostrar la existencia de una biyección lipschitziana entre este dominio $\Omega$ y un cubo en $\mathbb R ^n$ (norma $\left \| . \right \|_{\infty}$ ).

Agradezco sus respuestas y su ayuda.

Answer 1

Puede que no haya ninguno. Si el límite de $\Omega$ presenta una cúspide, entonces no puede ser aplanada ni siquiera en una esquina por un mapa de Lipschitz (en particular, se $\Phi$ debe tener una primera derivada no limitada).

Editar: aquí hay algunos detalles. Obsérvese que un mapa de Lipschitz de un conjunto acotado puede extenderse con la misma constante de Lipschitz al cierre del dominio (mapea secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy). Esta extensión enviaría el límite del dominio de partida de forma biyectiva al límite del cubo. Todo lo que hay que hacer para construir un contraejemplo es asegurarse de que esto no puede ocurrir; por ejemplo, en la dimensión 2 tome un dominio inicial con una cúspide, es decir, un punto donde la parte izquierda de la frontera se encuentra con la parte derecha con un ángulo de fuga. Esto no puede ser enviado por un mapa de Lipschitz a la frontera de un cuadrado sin plegarse, y el plegado impediría la biyectividad.