$y''+ 4y'=\cos^2( x).$ con el método de los coeficientes indeterminados

Question

Rompí la parte no homogénea $\cos^2(x)$ en $\frac12 -\frac12[\cos(2x)]$

y configuré mi solución de prueba como $$ \begin{split} Y_p &= A +B\sin(2x)+C\cos(2x)\\ Y'_p &= 2B\cos(2x)-2C\sin(2x)\\ Y''_p &= -4B\sin(2x)-4C\cos(2x) \end{split} $$ y después de sustituir estos valores en la EDO no consigo nada. Comparo $8B\cos(2x)-4C\cos(2x)$ con $-0.5\cos(2x)$ y me sale $C=(16B+1)/8$ y creo que me he equivocado aquí ya que no sé qué hacer después y las otras soluciones no tenían nada de esto. ¿Y el método del aniquilador puede ser más adecuado para este tipo de preguntas o el método de los coeficientes indeterminados está bien para esto?

Answer 1

La ecuación sólo tiene derivadas por lo que su constante A desaparecerá. $$y"+ 4y'= cos^2( x).$$ $$r^2+4r=0 \implies r=0,-4 \implies y_h=k_1+k_2e^{-4x}$$ $$y"+ 4y'= \frac {\cos(2x)}2+\frac 12$$ Para la constante $( \frac 12)$ utilice $y_{1p}=Ax \implies A=\frac 18 \implies y_{1p}=\frac x8$

( para la función trigonométrica tienes razón $y_{2p}=c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)$ $$(8c_2-4c_1)\cos(2x)+(-8c_1-4c_2)\sin(2x)=\frac {\cos(2x)}2$$ $$ \begin{cases} 8c_2-4c_1=\frac 12 \\ 8c_1+4c_2=0 \\ \end{cases} \implies (c_1,c_2)=(-1/40,1/20) $$ Finalmente, $$\boxed {y(x)=k_1+k_2e^{-4x}+\frac x8-\frac 1 {40} \cos(2x)+\frac 1 {20}\sin(2x)}$$

Answer 2

Su ansatz no es tan malo.

$$y''+4y'=-4B\sin2x-4C\cos2x+4B\cos2x-4C\sin2x=\frac12-\frac12\cos2x.$$

Entonces

$$-4B-4C=0,\\-4C+4B=-\frac12$$ puede resolverse, pero le dejará el término extra $\dfrac12$ .

Ahora basta con considerar $$y'=A,$$ para que $y''=0$ o $$y=Ax.$$

Answer 3

Su lado izquierdo está en resonancia con parte de su lado derecho. Como las raíces del polinomio característico son $0$ y $-4$ hay que aumentar el grado de la parte constante correspondiente a la raíz $0$ . Por lo tanto, su función de coeficiente indeterminado tiene que ser $$ Y_p=Ax+(B\cos(2x)+C \sin(2x)). $$