Encuentre $f(x)$ dado $f, g$ tal que $\,f(0) =2,\, g(0) =1, \, f'(x) = g(x),\, g'(x) = f(x)$ .

Question

Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones satisfactorias:

$$\begin{align} f(0) & =2\\ g(0) &=1 \\ f'(x) &= g(x) \\ g'(x) & = f(x) \end{align}$$

Encuentre $f(x)$ .

Answer 1

Según su hipótesis,

$g'(x)=(f'(x))'=f''(x)$

Pero también, $g'(x)=f(x)$

Eso es, $f''(x)=f(x)$ como en $f''(x)-f(x)=0$

Resolviendo la ecuación diferencial en cuestión, tenemos:

$f(x)=c_1e^x+c_2e^{-x}$

$f(0)=2$ Es decir, $c_1+c_2=2$

También, $g(0)=1$ Es decir $f'(0)=1$ , lo que da lugar a $c_1-c_2=1$

Resolviendo esas dos ecuaciones, obtenemos:

$c_1=\frac{3}{2}$

$c_2=\frac{1}{2}$

Finalmente,

$f(x)=\frac{3}{2}e^x+\frac{1}{2}e^{-x}$

Hecho.