Operador de Laplace de una función suave

Question

Dejemos que $f$ sea una función suave en un dominio $\Omega \subset \mathbb{C}$ . Demostrar que para cualquier $a \in \Omega$ tenemos $$\Delta f \left( a \right ) = \lim_{r \to 0^+} \frac{4}{r^2} \left( \frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} f\left(a+re^{i\theta}\right)d\theta -f\left(a\right)\right),$$ donde $\Delta f = f_{xx}+f_{yy}$ es el operador de Laplace.

---

Mi idea es utilizar la expansión de Taylor: $$f\left(z\right)=f\left(a\right) + f'\left(a\right)\left(z-a\right)+\frac{1}{2}f''\left(a\right)\left(z-a\right)^2+o\left(\left|z-a\right|^3\right).$$ Toma $z=a+re^{i\theta}$ obtenemos $$f\left(a+re^{i\theta}\right)- f\left(a\right) = f'\left(a\right)re^{i\theta}+\frac{1}{2}f''\left(a\right)r^2e^{2i\theta}+o\left(r^3\right)$$ Sin embargo, el problema es que cuando integro ambos lados de la ecuación anterior $$\frac{2}{r^2}\left(\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f\left(a+re^{i\theta}\right)d\theta - f\left(a\right)\right)=\frac{2}{r}f'\left(a\right)\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}e^{i\theta}d\theta+f''\left(a\right)\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}e^{2i\theta}d\theta + 2o\left(r\right) = 2o\left(r\right)$$ ¡Esto es imposible! No sé dónde está el error. Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Tu problema es que has tratado $f$ como si fuera analítico. Si este es el caso, las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que $\Delta f=0$ como muestra su cálculo. Tenemos que suponer que $f$ sólo es suave, pas analítica, en cuyo caso, la fijación de $z=a+x+iy$ , $f(a+x+iy) = F(x,y)$ tenemos la expansión de Taylor $$ F(x,y) = F(0,0) + F_x(0,0)x + F_y(0,0)y + \frac{1}{2}(F_{xx}(0,0)x^2 + 2F_{xy}(0,0)xy +F_{yy}(0,0)y^2) + o(r^2). $$ Entonces, con $x=r\cos{\theta}$ , $y=r\sin{\theta}$ , \begin{align} &\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} F(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) \, d\theta \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} F(0,0) + r(F_x(0,0)\cos{\theta} + F_y(0,0)\sin{\theta}) \\ &\qquad + \frac{r^2}{2}(F_{xx}(0,0)\cos^2{\theta} + 2F_{xy}(0,0)\cos{\theta}\sin{\theta} +F_{yy}(0,0)\sin^2{\theta}) + o(r^2) \, d\theta \\ &= F(0,0) + 0r + \frac{r^2}{2} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} F_{xx}(0,0)\cos^2{\theta} + 2F_{xy}(0,0)\cos{\theta}\sin{\theta} +F_{yy}(0,0)\sin^2{\theta} \, d\theta + o(r^2) \\ &= F(0,0) + \frac{r^2}{4} ( F_{xx}(0,0) + F_{yy}(0,0) ) + o(r^2). \end{align} por el argumento habitual de las series de Fourier. Así que creo que en realidad $$ \Delta F(0) = \lim_{r \to 0} \frac{4}{r^2} \left( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} F(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) \, d\theta - F(0,0) \right), $$ lo que no conduce del todo a su fórmula: $F(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = f(a+re^{i\theta})$ por lo que el lado derecho es el mismo hasta un factor de 2, pero el lado izquierdo no lo es, ya que $\Delta F = f_{xx}-f_{yy}$ si mis cálculos son correctos.