Número esperado de lanzamientos de monedas hasta $HH$ en una fila

Question

Me plantearon el siguiente problema:

Dada una moneda con $\displaystyle P( H) =p,\ P( T) =1-p$ ¿Cuál es el número esperado de lanzamientos hasta que recibamos dos $\displaystyle H$ en una fila?

Puedo utilizar el hecho de que el número esperado de lanzamientos hasta la primera $\displaystyle H$ es $\displaystyle \frac{1}{p}$ .

Mi solución:

Denotemos $\displaystyle X_{2} =number\ of\ tosses\ until\ HH\ ( including\ the\ HH)$ .

Queremos encontrar $\displaystyle E[ X_{2}]$ .

Al mismo tiempo, vamos a denotar $\displaystyle X_{1} =number\ of\ tosses\ until\ H\ ( including\ H)$ .

De lo dado sabemos que $\displaystyle E[ X_{1}] =\frac{1}{p}$ .

Intentemos ahora simplificar la expresión $\displaystyle E[ X_{2}]$ con la Ley de Probabilidad Total.

Vamos a denotar dos eventos:

$\displaystyle A=after\ the\ 1^{st} \ H\ appears,\ the\ next\ toss\ is\ an\ H$ .

$\displaystyle A^{c} =after\ the\ 1^{st} \ H\ appears,\ the\ next\ toss\ is\ a\ T$ .

Supongamos también que el número de lanzamientos hasta la primera $\displaystyle H$ es un número $\displaystyle r$ .

Como cada lanzamiento es independiente de los demás, sabemos que $\displaystyle P( A) =P( H) =p$ .

Al mismo tiempo, por la misma razón, obtendremos $\displaystyle P\left( A^{c}\right) =P( T) =1-p$ .

A partir de la Ley de la Probabilidad Total entonces, podemos definir:

$\displaystyle E[ X_{2}] =P( A) \cdotp E[ X|A] +P\left( A^{c}\right) \cdotp E\left[ X|A^{c}\right]$ .

$\displaystyle =p\cdotp E[ X|A] +( 1-p) \cdotp E\left[ X|A^{c}\right]$ .

Pero,

- $\displaystyle E[ X|A]$ = el número esperado de lanzamientos hasta el primer HH, si sabemos que teníamos exactamente $\displaystyle r$ lanzamientos hasta el primer $\displaystyle H$ y después de eso tuvimos un $\displaystyle H$ .

Básicamente, esto significa que recibimos $\displaystyle HH$ ¡consecutivamente por primera vez! Así que dejaremos de dar vueltas aquí.

El número de lanzamientos, en este caso, será de $\displaystyle r+1$ .

Conocemos el valor esperado de $\displaystyle r$ es $\displaystyle E[ X_{1}] =\frac{1}{p}$ .

Así que: $\displaystyle E[ X|A] =\frac{1}{p} +1$ .

- $\displaystyle E\left[ X|A^{c}\right]$ = el número esperado de lanzamientos, si sabemos que hemos tenido exactamente $\displaystyle r$ lanzamientos hasta el primer $\displaystyle H$ y después de eso tuvimos un $\displaystyle T$ .

Además, en este caso, lanzamos la moneda $\displaystyle r+1$ veces, pero no nos detendremos, ya que no logramos la $\displaystyle HH$ consecutivamente. Al contrario, nos quedamos ante el mismo problema de forma recursiva. Cada lanzamiento es independiente del anterior, por lo que después del $\displaystyle r+1$ Tenemos que "empezar de nuevo", y tener de nuevo $\displaystyle E[ X_{2}]$ los lanzamientos esperados.

Así que: $\displaystyle E\left[ X|A^{c}\right] =\frac{1}{p} +1+E[ X_{2}]$ .

En general, si lo introducimos en nuestra ecuación inicial, obtenemos

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} E[ X_{2}] =p\cdotp \left(\frac{1}{p} +1\right) +( 1-p) \cdotp \left(\frac{1}{p} +1+E[ X_{2}]\right)\\ =1+p+\frac{1}{p} +1+E[ X_{2}] -1-p\cdotp E[ X_{2}]\\ \Rightarrow \\ p\cdotp E[ X_{2}] =\frac{1}{p} +1\\ \Rightarrow \\ E[ X_{2}] =\frac{1+p}{p^{2}} . \end{array}$

Estoy seguro de que esta solución es correcta, viendo esta otra pregunta: Valor esperado del número de ensayos para obtener k éxitos SUCESIVOS .

Básicamente introduje mis números en su solución.

A pesar de ello, en el primer pasaje parece que utilizaron un método diferente, que no entiendo muy bien de dónde se deriva. Al mismo tiempo, siento que mis respuestas utilizan muchas palabras especialmente para los casos de $\displaystyle E[ X|A] ,\ E\left[ X|A^{c}\right]$ . Esperaba tener alguna fórmula para usar en lugar de tener que explicar la solución "lógicamente".

¿Algún consejo?

Answer 1

Es mejor resolver este tipo de cosas a través de los estados. Hay $3$ estados que nos interesan, etiquetados por la porción de $HH$ que tenemos en marcha. Los estados son $\emptyset, H, HH$ . Comenzamos en $\emptyset$ . Para un estado $S$ dejar $E_S$ denotan el número de intentos esperados para llegar a $HH$ . Queremos $E_{\emptyset}$ Por supuesto $E_{HH}=0$ .

Observamos que el estado $\emptyset$ o bien va a $H$ (prob. $p$ ) o se queda en $\emptyset$ (prob. $1-p$ ). Así, $$E_{\emptyset}=p\times E_H+(1-p)\times E_{\emptyset}+1$$

Asimismo, $$E_H=p\times 0 + (1-p)\times E_{\emptyset}+1$$

lo que implica rápidamente que $$E_{\emptyset}=\frac {1+p}{p^2}$$

como se desee.

Como variante: Considera las posibles secuencias iniciales. Sólo son posibles tres inicios: O bien se obtiene $T$ inicialmente, en cuyo caso el juego se reinicia después de $1$ , o se obtiene $HT$ en cuyo caso el juego se reinicia después de $2$ , o se obtiene $HH$ en cuyo caso el juego se acaba en $2$ . Así, $$E=(1-p)\times (E+1)+p(1-p)\times (E+2)+p^2\times 2\implies E=\frac {1+p}{p^2}$$

Nota: ya que se planteó la cuestión de la finitud, no es terriblemente difícil resolverla. Consideremos el problema "más grueso" en el que se lanza la estafa dos veces a la vez y se requiere que se obtenga el $HH$ en un solo turno. Eso tiene una expectativa de $\frac 1{p^2}$ por lo que el valor esperado del juego actual debe ser $≤\frac {2}{p^2}$ . (Por supuesto, si $p=0$ ninguna de estas cantidades es finita).