En caso afirmativo, ¿podría explicar por qué? Perdona si la pregunta es trivial pero soy nuevo en los números complejos y veo muchos ejemplos en los que se utilizan propiedades de los números reales en los complejos sin demostrarlo . Esto realmente me sorprende ya que los números complejos son un superconjunto de los números reales. Por ejemplo he visto en mi libro $z*1=z$ en $ \mathbb{C} $ Tuve que hacer la multiplicación compleja para estar seguro de que era cierto, porque este 1 está en $\mathbb{C} $ (1,0)
Respuestas
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En primer lugar, hay que tener en cuenta que, para $z=a+ib$ tenemos $z\overline{z}=\sqrt{a^2+b^2}=|z|^2$ y también $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2}.$
Por lo tanto, $|zw|^2=(zw)\overline{zw}=zw\overline{z}\,\overline{w}=z\overline{z}w\overline{w}=|z|^2|w|^2.$ Esto implica $|zw|=|z||w|.$
MoebiusCorzer
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Dejemos que $z=a+bi$ y $w=c+di$ donde $(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4}$ . El módulo $|z|$ se define por $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ y $|w|=\sqrt{c^{2}+d^{2}}$ Por lo tanto $$\begin{align} |z||w| &=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{c^{2}+d^{2}}\\ &=\sqrt{a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}} \end{align}$$
Ahora, considere $zw=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ . Tenemos
$$\begin{align} |zw|&=\sqrt{(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}}\\ &=\sqrt{a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+2abcd}\\ &=\sqrt{a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}}\\ &=|z||w| \end{align}$$
