¿Cómo determinar si las expectativas condicionales con respecto a diferentes medidas son iguales a.s.?

Question

Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ sea un espacio de probabilidad y sea $\mathcal{A}$ sea un sub- $\sigma$ -de la álgebra de $\mathcal{F}$ . Sea $Q_{\mathcal{A}}$ sea una medida de probabilidad sobre $(\Omega, \mathcal{A})$ y definir, para todos $P$ -integrable $f$ , $$Q(f) := \int E_P(f \mid \mathcal{A})dQ_{\mathcal{A}}.$$

Tenga en cuenta que $E_P(f \mid \mathcal{A})$ es la expectativa condicional con respecto a $P$ . También hay que tener en cuenta que $Q$ define una medida sobre $(\Omega, \mathcal{F})$ tomando $f$ sea una función indicadora (abusamos de la notación escribiendo $Q(A)$ para $A \in \mathcal{F}$ ).

Motivación. La idea es que se parte de un espacio de probabilidad "a priori" $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ . Esto se extiende a un funcional lineal (expectativa) en el espacio $L^1$ de $P$ -funciones integrables $f$ . Entonces "aprendemos" algo sobre la sub-álgebra $\mathcal{A}$ y adoptar la nueva probabilidad $Q_{\mathcal{A}}$ definido en $\mathcal{A}$ . Se plantea la cuestión: ¿Cómo ampliar esta nueva probabilidad $Q_{\mathcal{A}}$ a todos los $\mathcal{F}$ (y por lo tanto $L^1$ )? Consideramos la extensión $Q$ definida anteriormente.

Pregunta. Hace $E_P(f \mid \mathcal{A}) = E_Q(f \mid \mathcal{A})$ a.s. ( $P$ )?

Pregunta añadida. Es $Q \ll P$ ?

La igualdad a.s. seguiría si pudiera demostrar que $$\int_A E_Q(f \mid \mathcal{A}) dP = \int_A f dP$$ para todos $A \in \mathcal{A}.$ Pero no estoy seguro de lo que se puede decir al integrar un $Q$ -expectativa condicional frente a la medida $P$ .

---

Creo que puedo mostrar el resultado para el caso en que $\mathcal{A}$ es generada por una partición contable $\{A_i \}_{i \in I}$ con $P(A_i)>0$ y $Q_{\mathcal{A}}(A_i) > 0$ para todos $i \in I$ .

En ese caso, tenemos $$E_Q(f \mid \mathcal{A}) = \sum_i E_Q(f \mid A_i) \mathbf{1}_{A_i},$$ por lo que basta con demostrar que $E_Q(f \mid A_i) = E_P(f \mid A_i)$ para todos $i \in I$ .

Para ello calculamos (abuso de la notación, escribiendo $A_i = \mathbf{1}_{A_i}$ ) $$\begin{align} E_Q(f \mid A_i) &= \frac{1}{Q(A_i)} \int_{A_i}fdQ \\ &= \frac{1}{Q(A_i)} \int E_P(fA_i \mid \mathcal{A}) dQ_{\mathcal{A}} \\ &= \frac{1}{Q(A_i)} \int \left(\sum_{j \in I} \mathbf{1}_{A_j} \frac{1}{P(A_j)} \int_{A_i}fA_j dP \right)dQ_{\mathcal{A}} \\ &= \frac{Q_{\mathcal{A}}(A_i)}{Q(A_i)} \frac{1}{P(A_i)} \int_{A_i} f dP \\ &= E_P(f \mid A_i).\end{align}$$

El problema de extender esto a la generalidad de los $\mathcal{A}$ es que no puedo decir explícitamente cuáles son las expectativas condicionales (casi seguro).

Answer 1

Es una pregunta muy interesante, porque conduce a un debate útil sobre cuestiones que normalmente se pasan por alto cuando se habla de expectativas condicionales.

Lo primero que hay que tener en cuenta es que hay que tener mucho cuidado con escribir cosas como $$ E_Q(f \mid \mathcal{A}) = E_P(f \mid \mathcal{A}) \tag{1} $$ para algunas medidas $P$ y $Q$ (con $Q$ no necesariamente definido como en el OP). La triste verdad es que la expectativa condicional $E_Q(f \mid \mathcal{A})$ se define como un módulo $Q$ -conjuntos nulos. Esto hace que la igualdad (1) carezca totalmente de sentido a menos que las medidas $Q$ y $P$ tienen los mismos conjuntos nulos, es decir, son equivalentes .

Pasemos ahora a la situación particular, $E_{Q_{\mathcal A}}(E_P(f\mid\mathcal A))$ no puede definirse si $Q_{\mathcal A}\not\ll P|_{\mathcal A}$ . De hecho, en este caso existe una $A\in\mathcal A$ con $Q_{\mathcal A}(A)>0 = P(A)$ . Cambiar los valores de $E_P(f\mid\mathcal A)$ en $A$ no cambia esta expectativa condicional. Sin embargo, sí cambia el valor de $E_{Q_{\mathcal A}}(E_P(f\mid\mathcal A))$ .

Por lo tanto, nosotros debe suponer que $Q_{\mathcal A}\ll P|_{\mathcal A}$ . Además, si $P|_{\mathcal A}\not \ll Q_{\mathcal A}$ , entonces (1) no se puede sostener $\pmod P$ . De hecho, en este caso existe un conjunto $B\in\mathcal A$ tal que $P(B)>0 = Q(B)$ . Entonces podemos cambiar el lado izquierdo de (1) en $B$ de forma arbitraria. Por el lado bueno, (1) sí se mantiene $\pmod Q$ incluso en este caso. Para demostrarlo, hay que tener en cuenta que por definición de $E_Q(\cdot\mid\mathcal A)$ (1) se cumple si para cualquier $A\in \mathcal A$ $$ E_Q(A\,f ) = E_Q(A\,E_P(f \mid \mathcal{A})). $$ Pero $$ E_Q(A\,f) = Q(A\, f) = E_{Q_{\mathcal{A}}}(E_P(A\,f \mid \mathcal{A})) \\ = E_{Q}(E_P(A\,f \mid \mathcal{A})) = E_{Q}(A\,E_P(f \mid \mathcal{A})), $$ según sea necesario.

La respuesta a la segunda pregunta es positiva (pero, repito, hay que asumir $Q_{\mathcal A}\ll P|_{\mathcal A}$ ). En efecto, si $P(A) = 0$ entonces $E_P(A\mid\mathcal A) = 0 \pmod P$ gracias a la propiedad de la torre, por lo tanto, $E_P(A\mid\mathcal A) = 0 \pmod Q_\mathcal A$ en vista de la continuidad absoluta, por lo que $$ Q(A) = E_{Q_{\mathcal{A}}}(E_P(A\mid \mathcal{A})) = 0, $$ como se ha reclamado. (Como alternativa, se puede demostrar, por definición, que $dQ/dP = dQ_{\mathcal A}/dP|_{\mathcal A}$ .)