Convergencia puntual de $f_n(x)=n\sin \frac{x}{n}$

Question

Encuentre el conjunto S en el que $f_n(x)=n\sin \frac{x}{n}$ converge puntualmente, y encontrar la función límite. La secuencia converge a $x$ desde la ampliación de Maclaurin de $\sin x$ es $\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ Por lo tanto

$$n\sin \frac xn = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!n^{2k}} = x + \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!n^{2k}}.$$

Así, $n\sin\frac{x}{n}\rightarrow x$ como $n\rightarrow \infty$ . Ahora, el manual del libro de Trench "Introduction to Real Analysis" hace un enfoque ligeramente diferente que todavía no puedo entender:

"Del teorema de Taylor, $\sin\frac{x}{n}=\frac{x}{n}-cos\theta(x,n)\frac{x^3}{6n^3}$ , donde $\cos\theta(x,n)$ está entre cero y $\frac{x}{n}$ . Por lo tanto, $\left |f_n(x)-x \right |\leq \frac{x^2}{6n^2}$ Así que $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=x, -\infty< x< \infty$ ".

¿De dónde viene el coseno de theta? ¿Es un truco para que el valor absoluto sea menor o igual, en lugar de simplemente igual?

Answer 1

Creo que todo esto es bastante redondo. Sabemos que $\sin'=\cos$ Así pues, para los fijos $x$ y $f_x:y\mapsto\sin(xy)$ uno tiene $\lim_{y\to0}\frac{\sin(xy)}y=f_x'(0)=\cos(0)x=x$ y en particular $\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(x/n)}{1/n}=x$ .