La ecuación de $(a+b)^a=a^b$

Question

¿Cómo podemos encontrar el entero positivo soluciones a $(a+b)^a=a^b$?

Desde $a+b>a$, es necesario que el $a<b$, de lo contrario, el lado izquierdo es menor que el lado derecho. Así que vamos a $b=a+x$. La ecuación se convierte en $(2a+x)^a=a^{a+x}$, o lo que es equivalente, $\left(2+\dfrac{x}{a}\right)^a=a^x$.

Answer 1

Su ecuación significa que $(2+\frac xa)^a$ es un número entero. Esto sólo es posible si $2+\frac xa$ es en sí mismo un número entero. En particular, $x$ es divisible por $a$. Por lo tanto, podemos escribir $b=ka$ para algunos entero $k\geq2$. El uso de este en la ecuación original, se obtiene $$((k+1)a)^a = a^{ka}$$ or equivalently $$(k+1)^a = a^{(k-1)a}$$ which further simplifies to $$k+1=a^{k-1}.$$ This implies $k+1\geq 2^{k-1}$, leaving us with the possibilities $k=2,3$. These give us the solutions $(k,a)\en\{(2,3),(3,2)\}$, which gives us the solutions of the original equation: $$a=2,b=6,\\a=3,b=6.$$