Se define la función de distribución de densidad de una colección de $N$ partículas en el espacio de fase de la siguiente manera, $$f(\vec{x},\vec{p},t)=\sum_{i=1}^N\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_i)\delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{p}_i).$$ La afirmación es que la función de distribución anterior es invariante bajo Lorentz. Para demostrarlo, se define la siguiente función, $$F(\vec{x},\vec{p},t)=\delta(p^2-m^2)\Theta(p^0)f(\vec{x},\vec{p},t).$$ Si se logra demostrar que $F$ es invariante bajo Lorentz, entonces $f$ también será invariante bajo Lorentz. Mediante manipulaciones se llega a, $$F(\vec{x},\vec{p},t)=\frac{1}{2E_{\vec{p}}}\sum_{i=1}^N\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_i)\delta^{(4)}(p-p_i).$$ Dado que la función delta que restringe los momentos de partículas en la cáscara ya ha convertido la función delta tridimensional de momentos en funciones delta tetracodimensionales, solo nos preocupamos por la función delta tridimensional de posición. Para abordar este problema, se introduce la integración sobre el tiempo de coordenadas, $$F(\vec{x},\vec{p},t)=\frac{1}{2E_{\vec{p}}}\sum_{i=1}^N\int dt_i\delta(t-t_i)\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_i(t_i))\delta^{(4)}(p-p_i(t_i)).$$ Utilizando la relación entre el tiempo propio y el tiempo de coordenadas $d\tau_i=\frac{m}{E_{\vec{p}}}dt_i$, y suprimiendo el índice en el tiempo propio se llega a la siguiente ecuación, $$F(\vec{x},\vec{p},t)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^N\int d\tau\delta^{(4)}(x-x_i(\tau))\delta^{(4)}(p-p_i(\tau)).$$ La expresión anterior sugiere que $F$ es invariante bajo Lorentz y por lo tanto, lo es $f$. Pero este tratamiento solo funciona para partículas masivas. Mi pregunta es ¿cómo se generaliza este método a partículas sin masa para las cuales la masa y el tiempo propio son inevitablemente cero?
Respuesta
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Para las partículas sin masa, el tiempo propio es inevitablemente cero y, por lo tanto, no puede usarse para parametrizar las trayectorias de las partículas. Se puede elegir otro parámetro afín, que por definición mantiene inalterada la forma de la ecuación geodésica, digamos $\lambda$, de modo que el cuadrivector de momento se redefine de la siguiente manera, $$P^\mu\equiv\frac{dx^\mu}{d\lambda}.$$ Ahora, con el problema se puede proceder de la siguiente manera, $$F(\vec{x},\vec{p},t)=\frac{1}{2E_{\vec{p}}}\sum_{i=1}^N\int dt_i\delta(t-t_i)\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_i(t_i))\delta^{(4)}(p-p_i(t_i))\\ =\frac{1}{2P^0}\sum_{i=1}^N\int d\lambda\left|\frac{dt_i}{d\lambda}\right|\delta(t-t_i(\lambda))\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_i(\lambda))\delta^{(4)}(p-p_i(\lambda))\\ =\frac{1}{2P^0}\sum_{i=1}^N\int d\lambda P^0_i(\lambda)\delta^{(4)}(x-x_i(\lambda))\delta^{(4)}(p-p_i(\lambda)).$$ Aquí, he utilizado los siguientes hechos, 1) $E_{\vec{p}}=P^0$, 2) $P^0=\frac{dx^0}{d\lambda}=\frac{dt}{d\lambda}$. Las funciones delta de cuatro dimensiones son invariantes bajo Lorentz; $\lambda$ es una variable ficticia, cuyo cambio no altera el valor de la integral; y ahora, tenemos componentes cero del cuadrimomento tanto en el numerador como en el denominador, el factor de transformación de Lorentz se cancelará precisamente para ellos. Por lo tanto, $F$ es invariante bajo Lorentz.
