Expansión en serie de la solución de la EDO

Question

Consideremos la EDO de $y(t) \in \mathbb R^n$ con matriz cuadrada $A$ y el operador bilineal $H: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$ Estoy buscando una serie de forma cerrada para la solución de:

$$y'(t) = A y(t) -H(y(t),y(t))$$ con la condición inicial $y(0)=y_0$

Claramente,

$$y(t) = e^{At} y_0 -\int_0^t e^{A(t-s)} H(y(s),y(s)) \ ds.$$

Evidentemente, ahora se puede sustituir esta expresión de nuevo en el último término, lo que nos deja con

$$y(t) = e^{At} y_0 -\int_0^t e^{As} H(y_0,y(s)) \ ds-\int_0^t \int_0^s e^{A(t-s)} e^{A(s-s_1)} H(H(y(s_1),y(s_1)),y(s)) \ ds_1 \ ds .$$

En principio, se debería poder encontrar una expresión en serie infinita de forma cerrada para esta solución, es decir, escribir $$y(t) =\sum_{n=0}^{\infty} a_n(y_0)$$ con $\vert a_n(y_0) \vert \lesssim \vert y_0 \vert^n$ pero no encuentro la forma de escribirlo.

¿Alguien lo sabe?

EDIT: Por favor, vea el comentario de LutzL más abajo para una explicación de lo que se necesita.

Answer 1

Los coeficientes de la serie de potencias para $y(t)=\sum_ky_kt^k$ seguir la recursión $$ (k+1)y_{k+1}=Ay_k-\sum_{j=0}^kH(y_j,y_{k-j}).\tag1 $$ Su tamaño está limitado por la desigualdad recursiva $$ (k+1)\|y_{k+1}\| \le \|A\|\,\|y_k\|+\sum_{j=0}^k\|H\|\,\|y_j\|\,\|y_{k-j}\| \tag2 $$ en las normas del operador y del tensor inducido. Ahora comparemos esto con la ecuación escalar $$ u'=au+hu^2,~~a=\|A\|,~h=\|H\|,~u(t)=\sum_ku_kt^k\tag3 $$ que tiene una solución exacta $$ au(t)^{-1}+h=(au_0^{-1}+h)e^{-at}\implies u(t)=\frac{u_0e^{at}}{a(a-hu_0(e^{at}-1))}\tag4 $$ Los coeficientes de la serie de potencias de $u(t)=\sum_ku_kt^k$ seguir la recursión $$ (k+1)u_{k+1}=au_k+h\sum_{j=0}^ku_ju_{k-j}.\tag5 $$

Comparando esta recursión (5) con la desigualdad normativa recursiva (2) resultante de la ecuación diferencial se concluye que si $\|y_j\|\le u_j$ para $j=0,..,k$ entonces también $\|y_{k+1}\|\le u_{k+1}$ es decir, esto es válido para todos los $k$ si $u_0=\|y_0\|$ .

La solución exacta para $u$ tiene un polo en $t=\rho=\frac1a\ln(1+\frac{a}{hu_0})\le\frac1{hu_0}$ . Además se ve que $u_k$ es un polinomio en $u_0$ de grado $k+1$ .

De la teoría general sobre el radio de convergencia se concluye que para cualquier $r<\rho$ hay una constante $C_r$ para que $\|y_k\|\le u_k\le C_rr^{-k-1}$ . Para $r=\frac12\rho$ por ejemplo, se obtiene $$\|y_k\|\le C(2\|H\|\,\|y_0\|)^{k+1}.$$