Demostrar que $e^x \gt 0$ para $x \in \mathbb{R}$

Question

Esto es una consecuencia de la regla exponencial, pero ¿cómo puedo demostrar que es cierto?

Answer 1

¿Cómo se define $e^x$ ?

La forma más común de definirlo es

$$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

Si se toma esta definición, entonces si $x > 0$ , $e^x$ es la suma de un número infinito de términos positivos.

Habría que demostrar que la serie converge, pero si se da por supuesto, entonces por supuesto que converge a un número positivo.

Si $x < 0$ entonces $e^{-x} > 0$ y como $$ e^x \cdot e^{-x} = 1 > 0 \Rightarrow e^x > 0$$ desde $e^{-x} > 0$

Answer 2

Cada definición de $\exp(x)$ conduce a la propiedad, $\exp(a+b)= \exp(a)\exp(b)$ . Además toda definición nos dice también que $\exp$ se define en toda la línea real y toma valores reales cuando se le da un número real como argumento.

Así que consideraremos la función exponencial evaluada en $x$ y observe que $x=x/2+x/2$ .

$$ \exp(x) = \exp(x/2)\exp(x/2) = (\exp(x/2))^2 > 0 $$

Como el cuadrado de todo número real es positivo tenemos nuestro resultado.

Answer 3

Tenemos que $e>0$ . Entonces, para cada $n\in \Bbb N$ tenemos que $e^n>0$ .porque $\sqrt[m] .$ es creciente, entonces $\sqrt [m] {e^n}>0$ . Así, $$e^q>0$$ por cada $q\in \Bbb Q$ . Ahora $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ así $e^x>0$ por cada $x\in \Bbb R$ .