Una desigualdad de $L_p$ norma

Question

Supongamos que $(X, m), (Y, \mu)$ son dos espacios de medidas. Consideremos $f:X \times Y \to \mathbb R$ donde $X \times Y$ tiene la medida del producto $m\times \mu$ . Supongamos que $0<p\leq q$ . Quiero mostrar $\|\|f\|_{L_p(m)}\|_{L_q(\mu)}\leq\|\|f\|_{L_q(\mu)}\|_{L_p(m)}$ . Estoy tratando de escribir $f=f\cdot 1$ y usar Cauchy Schwarz pero no sé qué hacer después. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Usando la desigualdad integral de Minkowski, $$ \left(\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^p m(dx)\right)^{q/p}\mu(dy)\right)^{p/q}\le \int_X\left(\int_Y|f(x,y)|^{q} \mu(dx)\right)^{p/q}m(dx) $$