¿El principio de superposición prohíbe la cuantificación?

Question

Aparentemente los estados ligados en la mecánica cuántica requieren que los estados de energía sean discretos. Eso significa que la energía en tales sistemas está cuantizada, ¿verdad? Sin embargo, digamos que tenemos una superposición de estados propios de energía. Usando el principio de superposición, digo que su promedio es un estado posible, ya que también decimos que hay la misma probabilidad de que observemos cada uno de los dos estados disponibles. Entonces, como este promedio está permitido, puedo tomar el promedio de que y el más pequeño de los estados originales, ¿no? Y si repito esto un número infinito de veces, debería obtener algo que sea tan bueno como continuo, ¿no? Si hablo de la $n$ niveles de energía de algún sistema, no podré expresar la energía de cada uno de estos estados permitidos en términos $n$ sin hacer algunas ecuaciones desordenadas. ¿No es esto una contradicción?

Answer 1

No. Es una buena idea, pero no. En resumen, tienes razón en que podemos preparar estados cuyo media La energía toma cualquier valor entre el estado de energía más bajo y el más alto. Pero esto es diferente a crear un estado que esté "entre" los estados propios de energía.

Dejemos que $|n\rangle$ sea el $n$ de energía del estado propio. Esto significa que tenemos que:

$$\hat{H}|n\rangle = E_n |n\rangle$$

y mejor aún:

$$E_{avg} = \langle \hat{H}\rangle = \langle n|\hat{H}|n\rangle = E_n$$

Podemos definir un estado:

$$ |\psi\rangle = a|0\rangle + b|100\rangle $$

con $|a|^2 + |b|^2 = 1$

$$ E_{avg} = \langle \hat{H}\rangle = \langle \psi | \hat{H}|\psi\rangle = |a|^20 + |b|^2 100 = 100 |b|^2 $$

Desde $0<|b|<1$ vemos que podemos tener un estado que tenga cualquier energía media entre $0$ y $100$ . De hecho, desde $|b|$ es complejo ya hay infinidad de estados que tienen esta propiedad.

Supongamos que $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ para que $|b|^2 = \frac{1}{2}$ y $E_{avg} = 50$ . Esto significa que si se prepara y se mide este estado muchas veces que la mitad de las veces se medirá $0$ y la mitad del tiempo medirá $100$ . Contrasta esto con el estado $|50\rangle$ donde se mediría $50$ cada tiempo.

Esto pretende ilustrar la diferencia entre un estado cuántico cuyo media la energía es $50$ y un estado propio de energía cuya energía medida es siempre 50.

También hay otras diferencias. Supongamos que el sistema es un oscilador armónico. En ese caso $n$ del estado $|n\rangle$ te dice que el oscilador tiene una amplitud de oscilación de exactamente $\sqrt{n}$ en el espacio de fase ( $\hat{X}^2+\hat{P}^2 = \hat{n} \rightarrow n$ en las unidades adecuadas). Si el sistema está en estado $|\psi\rangle$ arriba lo encontrarás la mitad del tiempo con amplitud $0$ y la mitad del tiempo con amplitud $10 = \sqrt{100}$ pero nunca con amplitud $\sqrt{50}$ . Este es otro sentido en el que la superposición de dos estados no es realmente como la media de los dos estados. En cuanto a los valores de las expectativas, las cosas pueden ser similares a veces, pero no siempre. En general, lo que has descrito no es una buena forma de pensar en los estados cuánticos.

Answer 2

Esto puede entenderse desde una perspectiva puramente clásica, y es una noción que aparece en la discusión de casi cualquier variable discreta. El valor esperado no es necesariamente un estado permitido . Por ejemplo, incluso con un dado justo, el valor esperado es 3,5 (ya que es la media de los números posibles), pero obviamente nunca obtendrás 3,5.

Así que imagina que estás tratando con una superposición de dos estados propios de energía $|n_1\rangle$ y $|n_2\rangle$ . La pregunta describe un largo proceso de promediar las energías de esos estados y luego usar ese promedio con $|n_1\rangle$ o $|n_2\rangle$ pero eso ni siquiera es necesario para obtener un valor de expectativa de algún valor arbitrario entre los dos estados "permitidos". En tu discusión de "promedios", asumo que estás hablando de algo como esto: $$\frac{1}{\sqrt{2}}|n_1\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|n_2\rangle$$ Pero no es necesario hacer eso de las medias infinitas. Puedes simplemente considerar $$\alpha |n_1\rangle+\beta n_2\rangle$$ donde $$|\alpha|^2 +|\beta|^2=1$$ y elija $\alpha$ y $\beta$ de manera que el valor de expectativa es lo que quieras entre $|n_1\rangle$ y $|n_2\rangle$ .

Sin embargo, en todo esto, lo que $\alpha$ y $\beta$ que consideres, sólo observarás $|n_1\rangle$ o $|n_2\rangle$ . Nada en el medio.

Answer 3

Como la ecuación de Schrödinger es lineal, cualquier combinación lineal de soluciones es también una solución. Sin embargo, las soluciones se han normalizado a la unidad, representando así la carga elemental unitaria. Además, la mayoría de estas soluciones no son estacionarias. Sólo las soluciones de la independiente del tiempo ecuación son y representan energías discretas. Las soliciones no estacionarias pueden representar energías intermedias entre las de los estados estacionarios.