¿Cuántos términos hay que contengan el término $xyk^2$ en la expansión de $(2x-y+t+3z+4k)^8$

Question

¿Cuántos términos hay que contengan el término $xyk^2$ en la expansión de $(2x-y+t+3z+4k)^8$ como $xyk^2t^2z^2$ o $xyk^2t^4z^0$ o $xyk^2z^3t$ etc.

Me he inventado esta pregunta y la he calculado, pero no sé si mi solución es correcta o no.

$\color{blue}{Solution:}$

$\color{red}{1-)}$ Lo convertí en una expresión binomial tal que $\color{green}{a=}2x-y+4k$ y $\color{green}{b=}t+3z$ Así que voy a trabajar sobre $(a+b)^8$ .

$\color{red}{2-)}$ Pensé que debía buscar $xyk^2$ en $a$ Así que dije que el exponencial de $a$ debe ser $4$ porque $1+1+2=4$ que son la suma de los exponentes de $xyk^2$ .

$\color{red}{3-)}$ Por lo tanto, el exponente de $b$ debe ser $4$ también. Porque la suma de los exponentes de $a$ y $b$ debe ser igual a $8$ .

$\color{red}{4-)}$ Por lo tanto, los términos que contiene $xyk^2$ en la expansión de $(2x-y+t+3z+4k)^8$ debe ser igual al número de términos en la expansión de $b$ es decir $(3z+t)^4$ . Es igual a $5$

Entonces, mi respuesta es $5$ . Lo he comprobado con la segunda solución. Sin embargo, no estoy seguro de la veracidad de la primera solución. ¿Es cierto mi primer camino?

Gracias por todas las contribuciones..

$\color{blue}{Solution 2:}$ Debido a que la suma de los exponentes debe ser igual a $8$ Debo encontrar el número de particiones de $4$ en dos partes para encontrar el número de combinaciones de los exponentes de $t$ y $z$ . Entonces, $t=4,z=0$ o $t=3,z=1$ o $t=2,z=2$ o $t=1,z=3$ o $t=0,z=4$

Answer 1

Ambas soluciones son correctas. El razonamiento para obtener $5$ en la primera solución es algo más detallada. La esencia es en ambas soluciones la misma, es decir, mantener el enfoque en el número de términos diferentes en la expansión de $(t+3z)^4$ .

Aquí hay una comprobación cruzada (un poco exagerada). Utilizamos el coeficiente de operador $[x^k]$ para denotar el coeficiente de $x^k$ en una serie. De esta manera podemos escribir, por ejemplo \begin{align*} [x^k](ax+z)^n=\binom{n}{k}a^kz^{n-k}\tag{1} \end{align*}

Obtenemos aplicando sucesivamente (1) \begin{align*} \color{blue}{[xyk^2]}&\color{blue}{(2x-y+t+3z+4k)^8}\\ &=\binom{8}{1}2^1[yk^2](-y+t+3z+4k)^7\\ &=\binom{8}{1}2^1\binom{7}{1}(-1)^1[k^2](t+3z+4k)^6\\ &=\binom{8}{1}2^1\binom{7}{1}(-1)^1\binom{6}{2}4^2(t+3z)^4\\ &\,\,\color{blue}{=-26\,880(t+3z)^4}\\ \end{align*} El número de términos deseados es el número de términos diferentes de $(t+3z)^4$ ampliado, que es $5$ .