La exactitud de secuencias de módulos es una propiedad local

Question

Es bien sabido que pasar a módulos de fracciones es exacto, es decir, si $$M'\xrightarrow{f} M\xrightarrow{g} M''$$ es una sucesión exacta de módulos $A$ ($A$ siendo un anillo conmutativo con unidad), entonces para cada subconjunto multiplicativo $S\subset A$, la sucesión inducida $$S^{-1}M'\to S^{-1}M\to S^{-1}M''$$ es exacta.

Pero ninguno de los libros de álgebra conmutativa que conozco trata si para que $M'\to M\to M''$ sea exacta es suficiente que $M'_\mathfrak{p}\to M_\mathfrak{p} \to M''_\mathfrak{p}$ sea exacta para cada ideal primo $\mathfrak{p}\subset A$. Así que estaba buscando una demostración, aunque no esperaba que fuera verdad (al menos sin algunas suposiciones de finitud), y sorprendentemente parece funcionar. Pero es demasiado fácil para ser correcto, aunque no puedo encontrar el error, ¿dónde me equivoqué? Estos son mis pensamientos:

Sea $M'_\mathfrak{p}\to M_\mathfrak{p} \to M''_\mathfrak{p}$ exacta para cada ideal primo $\mathfrak{p}\subset A$ (también se podrían tomar ideales maximales). Entonces (solo en el caso de que esto no se asumiera de todos modos) tenemos $\operatorname{im}(f)\subset \ker(g)$, ya que para cada primo $\mathfrak{p}\subset A$ tenemos $0=g_\mathfrak{p}\circ f_\mathfrak{p}(x) = (g\circ f)_\mathfrak{p}(x) = g\circ f (x)$ en $M''_\mathfrak{p}$ para todo $x\in M'$, por lo tanto existe $s\in A\setminus\mathfrak{p}$ tal que $s\; (g\circ f(x))=0$. Pero con un argumento estándar (tomar $\mathfrak{p}\supset\operatorname{ann}(g\circ f(x))$ para producir una contradicción con lo contrario) obtenemos $g\circ f(x) = 0$ y $\operatorname{im}(f)\subset \ker(g)$.

Ahora sabemos que el mapa de inclusión $i\colon\operatorname{im}(f)\hookrightarrow \ker(g)$ está definido. Pero para cada primo $\mathfrak{p}\subset A$ asumimos que $i_\mathfrak{p}\colon \operatorname{im}(f_\mathfrak{p})\to\ker(g_\mathfrak{p})$ es biyectivo y esta es una propiedad local, por lo que $i\colon\operatorname{im}(f)\to \ker(g)$ también lo es y finalmente $\operatorname{im}(f)=\ker(g)$. Por supuesto, esto requiere que la localización conmute con $\ker$ y $\operatorname{im}$, pero estoy seguro de que esto es verdad.

Cada vez estoy más convencido de que es correcto cada vez que lo miro, pero aún así algo me preocupa. ¿Alguna sugerencia o incluso contraejemplos?

Answer 1

Sí, la exactitud es de hecho local, y la localización conmuta con $\ker$ y $\operatorname{im}$ (ya que la localización es exacta). De hecho, la exactitud es tan local que solo necesitas verificarlo en los ideales maximales. Aquí hay un esquema:

1. $M = 0$ si y solo si $M_\mathfrak{m} = 0$ para todos los ideales maximales $\mathfrak{m}$.

2. Un homomorfismo $M \to N$ es un monomorfismo/epimorfismo/isomorfismo si y solo si $M_\mathfrak{m} \to N_\mathfrak{m}$ es un monomorfismo/epimorfismo/isomorfismo para todos los ideales maximales $\mathfrak{m}$. [Usa (1)].

3. Supongamos que tenemos una secuencia de módulos y homomorfismos: $$0 \longrightarrow M'' \longrightarrow M \longrightarrow M' \longrightarrow 0$$ Supongamos también que esta secuencia es exacta después de localizar en $\mathfrak{m}$, para todos los ideales maximales $\mathfrak{m}$. Entonces, por (1), la secuencia es un complejo de cadenas, y por (2), la secuencia es exacta en $M''$ y $M'$. Dado que tenemos un complejo de cadenas, hay un homomorfismo inducido $\ker (M \to M') \to \operatorname{coker} (M'' \to M)$; pero esto es un isomorfismo después de localizar en cada $\mathfrak{m}$, por lo que el homomorfismo ya es un isomorfismo, y así la secuencia también es exacta en $M$.

Answer 2

¡Como esto es una de las únicas cosas sobre las que puedo comentar, pensé en escribir una respuesta! Espero que sea de ayuda para alguien. Esencialmente es lo mismo que se ha escrito, pero un poco más condensado.

$(1)$ $M = 0$ si y solo si $M_\mathfrak{m} = 0$ para todo ideal maximal $\mathfrak{m}$.

Mantengamos la notación y las hipótesis de la publicación original, es decir, estamos considerando una secuencia $E$: $M'\xrightarrow{f} M\xrightarrow{g} M''$ que es exacta cuando es localizada en cada ideal maximal.

Dado que $((g\circ f)M')_{\mathfrak{m}}=(g_\mathfrak{m}\circ f_\mathfrak{m})M_{\mathfrak{m}}'=0$, tenemos por $(1)$ que $E$ es un complejo, y por lo tanto, el módulo cociente $\ker(g)/\operatorname{im}(f)$ está bien definido. Por lo tanto, $(\ker(g)/\operatorname{im}(f))_\mathfrak{m}=\ker(g_{\mathfrak{m}})/\operatorname{im}(f_{\mathfrak{m}})=0$, y el resultado sigue.