Todas las operaciones de conjunto posibles entre conjuntos

Question

Estaba buscando algún tipo de generalización sobre las operaciones de conjuntos entre diferentes conjuntos, y cómo ese número de operaciones aumenta a medida que el número de conjuntos también aumenta. También se puede pensar como el número de conjuntos representados en un diagrama de Venn de n conjuntos. No estoy muy seguro de cómo poner esto en palabras, así que creo que un ejemplo podría ser más claro.

Número de conjuntos 2, que sean $A$ y $B$ , entonces se tienen las siguientes operaciones de conjunto en el diagrama de Venn: $A\cap B, A\cup B, A - B$ y $B - A$

Si el número de juegos es 3, $A, B$ y $C$ tendrás: $A-(B \cup C)$ , $(A \cap C)-B$ , $B-(A \cup C)$ , $A \cap B \cap C$ , $(A \cap C) - B$ , $(B \cap C) - A,$ $C -(A \cup B)$ y sus complementos.

Si el número de conjuntos es 4: $A, B, C$ y $D$ : $A - (B \cup D \cup C)$ , $(A \cap B) - (D \cup C)$ , $B - (A \cup D \cup C)$ , $D - (A \cup B \cup C)$ , $(B \cap D) - (A \cup C)$ , $(A \cap D \cap B) - C$ , $(A \cap D) - (B \cup C)$ , $(D \cap C \cap A) - B$ , $A \cap B \cap D \cap C$ , $(D \cap B \cap C) - A$ , $(D \cap C) - (A \cup B)$ , $C - (A \cup B \cup D)$ , $(C \cap B) -(A \cup D)$ , $(A \cap B \cap C) - D$ , $(A \cap C)-(B \cup D)$ y sus complementos.

No estoy seguro de si se trata de un problema de teoría de conjuntos o de combinatoria, pero me gustaría saber una forma de generalizar esto para obtener las posibles combinaciones de operaciones entre conjuntos un poco más grandes, como 6, 8 o 10. para poder comparar los diferentes elementos presentes en esos conjuntos.

Answer 1

Lo que se busca es el número de funciones booleanas (aka funciones de verdad ) de $n$ variables. Equivalentemente, el número de tablas de verdad con $n$ variables y una columna extra arbitraria para el valor de la función.

El número de asignaciones de valores a $n$ variables es $2^n$ por lo que el número de funciones de verdad es $2^{2^n}$ .