Consideremos la secuencia de funciones definida como $ g_n =\int_{0}^{1} x^n f(x)dx$ . Demostrar que $ \frac {g_{n+1}}{g_n} \ge \frac {g_1}{g_0}$

Question

El siguiente problema fue dado por mi amigo como un desafío, pero desafortunadamente no pude resolverlo.

Dejemos que $f$ sea una función de valor real continua y no negativa definida en $[0,1]$ . Consideremos la secuencia de funciones definida como $ g_n =\int_{0}^{1} x^n f(x)dx$ . Demostrar que $ \frac {g_{n+1}}{g_n} \ge \frac {g_1}{g_0}$ .

Creo que este problema es difícil (bueno, al menos para mí) y lamento no encontrar la manera de resolverlo. ¿Algún consejo/idea?

Answer 1

Poner $D=[0,1]^2$ . Tenemos:

$$g_{n+1}g_0-g_ng_1=\int\int_D x^{n}(x-t)f(x)f(t)dxdt=\int\int_D t^{n}(t-x)f(x)f(t)dxdt$$

De ahí que se sumen las dos integrales: $$2(g_{n+1}g_0-g_ng_1)=\int\int_D (x^{n}-t^n)(x-t)f(x)f(t)dxdt$$

Y como $(x^n-t^n)(x-t)\geq 0$ para todos $x,t$ obtenemos $g_{n+1}g_0-g_1g_n\geq 0$ .