Estás confundiendo la inversa en $\mathbb R$ y la inversa en $\mathbb Z_7^*$ . Para comparar:
\begin{array}{c | c | c} x & x^{-1}\, \text{in}\,\mathbb R & x^{-1}\, \text{in}\,\mathbb Z_7^* \\ \hline 1 & 1 & 1\\ 2 & 1/2 & 4 \\ 3 & 1/3 & 5 \\ 4 & 1/4 & 2 \\ 5 & 1/5 & 3 \\ 6 & 1/6 & 6 \end{array}
Para ser justos, los elementos de $\mathbb R$ y elementos de $\mathbb Z_7^*$ son fundamentalmente diferentes cuando se trata de álgebra, por lo que utilizar los mismos símbolos para ellos tiende a confundir a los principiantes. Por eso, en el nivel introductorio, utilizamos algo como $\bar n$ para denotar la clase de equivalencia de $n\in\mathbb Z$ bajo alguna relación, aquí: $n\sim m \iff n-m\in 7\mathbb Z.$
Permítanme reescribir la tabla anterior utilizando esta notación:
\begin{align} \bar 1 \times_7 \bar 1 = \bar 1 &\implies (\bar 1)^{-1} = \bar 1,\\ \bar 2 \times_7 \bar 4 = \bar 8 = \bar 1 &\implies (\bar 2)^{-1} = \bar 4, (\bar 4)^{-1} = \bar 2,\\ \bar 3 \times_7 \bar 5 = \overline {15} = \bar 1 &\implies (\bar 3)^{-1} = \bar 5, (\bar 5)^{-1} = \bar 3,\\ \bar 6 \times_7 \bar 6 = \overline {36} = \bar 1 &\implies (\bar 6)^{-1} = \bar 6.\\ \end{align}
Podría haber adivinado esos, o mejor aún, podría haber hecho la tabla de multiplicar para $\mathbb Z_7^*$ :
\begin{array}{ c| c c c c c } \times_7 & \bar 1 & \bar 2 & \bar 3 & \bar 4 & \bar 5 & \bar 6\\ \hline \bar 1 & \bf{\color{red}{\bar 1}} & \bar 2 & \bar 3 & \bar 4 & \bar 5 & \bar 6\\ \bar 2 & \bar 2 & \bar 4 & \bar 6 & \bf{\color{red}{\bar 1}} & \bar 3 & \bar 5\\ \bar 3 & \bar 3 & \bar 6 & \bar 2 & \bar 5 & \bf{\color{red}{\bar 1}} & \bar 4\\ \bar 4 & \bar 4 & \bf{\color{red}{\bar 1}} & \bar 5 & \bar 2 & \bar 6 & \bar 3\\ \bar 5 & \bar 5 & \bar 3 & \bf{\color{red}{\bar 1}} & \bar 6 & \bar 4 & \bar 2\\ \bar 6 & \bar 6 & \bar 5 & \bar 4 & \bar 3 & \bar 2 & \bf{\color{red}{\bar 1}} \end{array}
Como puede ver, cada fila y cada columna tiene precisamente una $\bf{\color{red}{\bar 1}}$ por lo que cada elemento de $\mathbb Z_7^*$ tiene una única inversa.
Para resolver su problema, tenemos $G = \{\bar 0, \bar 1, \bar 2,\bar 3,\bar 4,\bar 5\}$ . Ahora haz una tabla de multiplicar como la anterior, sólo que utiliza tu operación $\oplus$ y buscar $\bf{\color{blue}{\bar 0}}$ .
Le recomiendo encarecidamente que haga lo anterior. El enfoque alternativo es menos elemental.
Fíjate en dos cosas, $\bar a\oplus \bar b +_7 \bar 1 = (\bar a +_7 \bar 1)\times_7 (\bar b +_7 \bar 1)$ y si añadimos $\bar 1$ a todos los elementos de $G$ obtenemos todos los elementos de $\mathbb Z_7^*$ es decir $f\colon G\to \mathbb Z_7^*$ , $f(\bar x) = \bar x +_7 \bar 1$ es una biyección con la inversa $g\colon \mathbb Z_7^*\to G$ , $g(\bar x) = \bar x -_7 \bar 1$ .
Estas dos cosas me dicen que hay una fuerte relación entre $G$ y $\mathbb Z_7^*$ . Además
$$f(\bar a\oplus \bar b) = \bar a\oplus\bar b +_7 \bar 1 = (\bar a+_7\bar 1)\times_7(\bar b+_7\bar 1) = f(\bar a)\times_7 f(\bar b)$$ y de manera similar $$g(\bar a\times_7 \bar b) = g(\bar a)\oplus g(\bar b).$$
(Compara esto con tu pregunta anterior y mi respuesta allí).
Ahora, puedo probar fácilmente que $G$ es un grupo (perderé el $\bar\cdot$ , $\times_7$ y $+_7$ aunque sea eso lo que se quiere decir):
- $(a\oplus b)\oplus c + 1 = (a\oplus b + 1)(c + 1) = (a+1)(b+1)(c+1) = \ldots =a\oplus(b\oplus c) + 1$ $\implies (a\oplus b)\oplus c = a\oplus(b\oplus c),$
- $a\oplus 0 + 1 = (a+1)(0 + 1) = a + 1 = (0+1)(a+1) = 0\oplus a + 1$ $\implies a\oplus 0 = a = 0\oplus a,$
Aquí es donde la cosa se complica:
\begin{align} 1\cdot 1 = 1 \implies (0+1)(0+1) = 1 &\implies 0\oplus 0 + 1 = 1 \implies 0\oplus 0 =0,\\ 2\cdot 4 = 1 \implies (1+1)(3+1) = 1 &\implies 1\oplus 3 + 1 = 1 \implies 1\oplus 3 = 0,\\ 3\cdot 5 = 1 \implies (2+1)(4+1) = 1 &\implies 2\oplus 4 + 1 = 1 \implies 2\oplus 4 = 0,\\ 6\cdot 6 = 1 \implies (5+1)(5+1) = 1 &\implies 5\oplus 5 + 1 = 1 \implies 5\oplus 5 = 0.\\ \end{align}
Así que, ahí tienes tus inversos.
Esencialmente, hemos establecido que $f$ y $g$ son isomorfismos de grupo de $G$ y $\mathbb Z_7^*$ , por lo que mapean inversas a inversas.
