Invertibility de un Producto de Kronecker

Question

Demostrar que $A\otimes B$ es invertible si y sólo si $B\otimes A$ es invertible.

No tengo una idea de por dónde empezar para ser honesto. No estoy muy familiarizado aún con el Producto de Kronecker entonces, ¿podría usted por favor me ayude con la prestación de un fácilmente comprensible prueba.

Gracias de antemano.

Answer 1

Las respuestas anteriores asumen que $A$ $B$ son cuadrados. Esto es justo, porque no es generalmente posible para $A\otimes B$ a sea invertible al $A$ $B$ son rectangulares.

En el más general de la creación, donde $A$ $m\times n$ $B$ $r\times s$ (e $mr = ns$) todavía es fácil ver que $A\otimes B$ es equivalente a $B \otimes A$ hasta permuting las filas y las columnas.

Tanto en $A \otimes B$ $B \otimes A$ contienen exactamente las mismas entradas $a_{ij} b_{kl}$. Más explícitamente, uno de los lugares $a_{ij} b_{kl}$ de la fila $(i-1)r+k$ y la columna $(j-1)s+l$, y el otro se coloca en la fila $(k-1)m+i$ y la columna $(l-1)n+j$. Tenga en cuenta que los números de fila determinada únicamente por $i,k$ y los números de columna determina de forma independiente por $j,l$.

Answer 2

Sugerencia: Si $A$ $m\times m$ matriz y $B$ $n\times n$ de la matriz, a continuación, $$\det(A\otimes B)=(\det A)^n\cdot (\det B)^m.$$

Answer 3

Añadido: Suponiendo que $A$ $B$ son matrices cuadradas y tampoco es $0\times 0$:

---

Se puede demostrar que los $A\otimes B$ es invertible si y sólo si $A$ $B$ es invertible, de que este resultado de la siguiente manera.

Si $A$ $B$ son invertible, ¿sabes cómo encontrar $(A\otimes B)^{-1}$?

Si $A$ a no es invertible, entonces existe $C\neq 0$ tal que $CA=0$. De ello se desprende que $(C\otimes I)(A\otimes B)=0$, lo que implica que $A\otimes B$ no es invertible.

Answer 4

¿Sabe usted que si dos matrices $A$ $B$ representan dos lineal mapas de $a : V \to V'$ $b : W \to W'$ (con respecto a algunos elegidos bases de espacios vectoriales $V$, $V'$, $W$ y $W'$), entonces el producto de Kronecker $A \otimes B$ representa el lineal mapa de $a \otimes b : V \otimes W \to V' \otimes W'$ (con respecto al definido de forma adecuada las bases: por ejemplo, si nuestras bases de $V$$W$$\left(e_i\right)_{i \in I}$$\left(f_j\right)_{j \in J}$, $V \otimes W$ base $\left(e_i \otimes f_j\right)_{\left(i,j\right)\in I\times J}$) ? Si es así, entonces usted se dará cuenta de que su pregunta es equivalente a la siguiente pregunta: Si el producto tensor $a \otimes b$ de dos lineal mapas de $a$ $b$ es invertible, entonces también lo es $b \otimes a$. Y esto se deduce del siguiente diagrama conmutativo:

$ \begin{array}{ccc} V \otimes W & \overset{\cong}{\longrightarrow} & W \otimes V \\ \downarrow a \otimes b & & \downarrow b \otimes a \\ V' \otimes W' & \overset{\cong}{\longrightarrow} & W' \otimes V' \end{array} $

donde las flechas horizontales son canónicos isomorphisms.

Esto es esencialmente una expresión algebraica de la versión de Erick Wong prueba.

Answer 5

Suponga que $A\in M_{m,n},B\in M_{p,q}$. Si nos echan de las matrices $X,Y$ fila por fila, a continuación,$A\bigotimes B:X\in M_{n,q}\rightarrow AXB^T,B\bigotimes A:Y\in M_{q,n}\rightarrow BYA^T$. Deje $\phi:X\in M_{q,n}\rightarrow X^T,\psi:Y\in M_{p,m}\rightarrow Y^T$ ; una se $A\bigotimes B\circ\phi=\psi\circ B\bigotimes A$.

Caso 1. Si $p=q,m=n$, es decir, si $A,B$ son matrices cuadradas, entonces $A\bigotimes B$ $B\bigotimes A$ son similares.

Caso 2. De lo contrario, es false. Sin embargo, $A\bigotimes B$ $B\bigotimes A$ tienen los mismos valores singulares de a $(\sigma_i\tau_j)_{i,j}$ donde $(\sigma_i)_i, (\tau_j)_j$ son los valores singulares de a $A,B$. De hecho, si uno tiene la enfermedad vesicular porcina $A=U_1D_1V_1,B=U_2D_2V_2$, entonces deducimos que el SVD $A\bigotimes B=(U_1\bigotimes U_2)(D_1\bigotimes D_2)(V_1\bigotimes V_2)$$B\bigotimes A=(U_2\bigotimes U_1)(D_2\bigotimes D_1)(V_2\bigotimes V_1)$.

Una consecuencia directa es la siguiente generalización de los resultados solicitados por el OP: $rank(A\bigotimes B)=rank(B\bigotimes A)=rank(A)rank(B)$.