Espacio tangente del subgrupo cerrado del grupo de Lie sobre la acción

Question

Intento mostrar la siguiente afirmación, que considero que debería ser "obviamente correcta", pero creo que me falta la forma fácil de verlo.

Dejemos que $G$ sea un gorup de Lie y $H$ un subgrupo cerrado. Por el teorema del subgrupo cerrado, $H$ es un submanifold incrustado de $G$ (lo mismo ocurre con cada órbita $gH$ ¿verdad?). Elige cualquier $g\in G$ y que $\theta_g : G\to G$ sea el difeomorfismo dado por la acción izquierda de $g$ .

Podemos empezar con $T_e H \subset T_e G$ y calcular $d\theta_g (T_eH)$ que será un subespacio de $T_gG$ . Pero, ¿será igual a $T_g (gH)$ ?

[Sólo puedo demostrar que son de la misma dimensión porque $d\theta_g$ es un isomorfismo].

Answer 1

Dejemos que $v\in T_eH$ Así que $v$ puede ser representado por un camino $\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to H$ con $\gamma(0)=e$ . Por definición, $d\theta_g(v)$ está representado por el camino $\delta$ dado por $$\delta(t)=g\gamma(t).$$ Dado que la imagen de $\delta$ está contenida en $gH$ concluimos que $$d\theta_g(v)\in T_ggH,$$ y así $$d\theta_g(T_eH)\subset T_ggH.$$ El argumento que has dado, respecto a las dimensiones, debería terminar la prueba.