$A = [a,b,c,d]$ es un conjunto de cuatro enteros. Elegimos dos enteros de $A$ y añadirlos. Se obtienen las siguientes seis sumas $- 0,2,4,8,10,12$ . Encuentre los cuatro enteros del conjunto $A$ ?
Todo lo que pude averiguar de este problema es que tiene que haber dos números que serán $x$ y $-x$ entonces sólo podemos obtener una suma de $0$ . Pero sigo sin poder resolver este problema o idear una forma de abordarlo.
Por favor, ayúdenme.
¡¡¡Gracias de antemano !!!
Sin pérdida de generalidad, podemos dejar que los cuatro números en orden sean $a,b,c,d$ . (Sabemos que los cuatro números son diferentes ya que producen seis sumas diferentes cuando se suman por parejas). La suma más pequeña (0) debe ser $a+b$ Así que $b=-a$ . La segunda suma más pequeña (2) sólo puede ser $a+c$ Así que $c=2-a$ . Finalmente, la mayor suma (12) debe ser $c+d$ y $(2-a)+d=12$ se simplifica a $d=a+10$ .
La tercera suma más pequeña (4) podría ser $a+d$ o $b+c$ . Resolvamos las dos cosas.
$a+(a+10)=4\\a=-3\\(a,b,c,d)=(-3,3,5,7)$
$(-a)+(2-a)=4\\a=-1\\(a,b,c,d)=(-1,1,3,9)$
Se puede comprobar fácilmente que ambas soluciones generan las seis sumas por pares, por lo que hay dos soluciones.
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