Ejemplos de mónadas y sus álgebras

Question

Me gustaría tener algunos ejemplos de mónadas En concreto, me gustaría un gran lista de diferentes mónadas y una descripción de lo que su [álgebras](http://en.wikipedia.org/wiki/Monad%28category_theory%29#Algebras_for_amonad) son . Alternativamente, recursos en línea y especialmente ejercicios sobre mónadas y sus álgebras.

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A pregunta reciente que pregunté (que aún no ha recibido ninguna respuesta), me ha enviado a un viaje épico de descubrimiento a través del mundo de los entramados, las mónadas, las operadas, la lattice y la homología poset. Estoy un poco perdido pero disfrutando mucho del viaje ^^

De todos modos, sé que un par de funtores adyacentes producen una mónada, y a la inversa, tengo entendido que, dada una mónada, se puede construir una nueva categoría y un par de funtores adyacentes que producirán la mónada original, así que en cierto modo la cuestión está resuelta. Sin embargo, esto no es muy concreto para mí.

Aquí hay algunas mónadas encontradas en varios apuntes de clase (y en la serie de vídeos de youtube de los Catsters)

• la mónada en $\mathsf{Set}$ que asocia a cada conjunto el conjunto sobre palabras en él; sus álgebras son los monoides. Del mismo modo, existe la mónada sobre $\mathsf{Set}$ que asocia a cada conjunto el conjunto subyacente al grupo libre sobre él; supongo que las álgebras asociadas a éste son los grupos(?), o la mónada sobre $\mathsf{Vect}_k$ que toma un espacio vectorial $V$ al espacio vectorial subyacente a su álgebra tensorial: ¿cuáles son sus álgebras? Éstas surgen de las adyacencias clásicas.
• la mónada powerset. He intentado elaborar sus álgebras pero no tengo ni idea de lo que pueden ser. Un álgebra sería un conjunto $X$ y un mapa $\theta:\mathcal{P}(X)\rightarrow X$ tal que para cualquier $x\in X$ y la familia $(A_i:i\in I)$ de subconjuntos distintos de $X$ , $$\theta(\lbrace x\rbrace)=x\text{ and }\theta\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right)=\theta\left(\lbrace \theta(A_i)\mid i\in I\rbrace\right)$$ Sin embargo, no veo qué significa eso en realidad. EDITAR Encontré un capítulo de Mac Lane Categorías para el matemático que trabaja en línea que cuenta con un ejercicio que muestra que las álgebras de la mónada del conjunto de potencias son los semilátices de unión completos.
• la intrigante mónada del ultrafiltro en $\mathsf{Set}$ que envía un conjunto $X$ al conjunto $\mathcal{U}X$ de todos los ultrafiltros en $X$ . Según la respuesta de Steve Lack a esta pregunta del modus operandi su "algberas son espacios compactos de Hausdorff". Leí una breve explicación en algún lugar de la red, pero aún no he intentado captarla, ni recuerdo dónde estaba...

Answer 1

Existe una mónada que podría considerarse la "madre de todas las mónadas", de la misma manera que el anillo de endomorfismo de un grupo abeliano es la "madre de todos los anillos". De hecho, algunos lo llaman incluso la mónada endomorfismo (especialmente en los círculos operádicos), pero tal vez sea más conocido como el mónada de codensidad . Tiene la siguiente propiedad universal:

• Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una categoría localmente pequeña y completa, sea $\mathbb{T}$ sea una mónada sobre $\mathcal{C}$ y que $X : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ sea un diagrama pequeño. Entonces la categoría de morfismos de mónada y transformaciones de mónada $\mathbb{T} \to \mathbb{E}\mathsf{nd}(X)$ es isomorfa a la categoría de factorizaciones de $X$ a través del functor de olvido $U^\mathbb{T} : \mathcal{C}^\mathbb{T} \to \mathcal{C}$ .

Ahora bien, ¿cómo podría $\mathbb{E}\mathsf{nd}(X)$ ¿se puede definir? La forma más clara es mediante la extensión Kan: el endofunctor subyacente de $\mathbb{E}\mathsf{nd}(X)$ es la extensión Kan derecha de $X$ a lo largo de $X$ . Así tenemos la siguiente fórmula: $$\textrm{End}(X)(Y) = \int_{j : \mathcal{J}} (X j)^{\mathcal{C}(Y, X j)}$$ En particular, cuando $\mathcal{J}$ es la categoría de terminal $\mathbb{1}$ , $X$ sólo escoge un objeto de $\mathcal{C}$ y cuando $\mathcal{C} = \textbf{Set}$ la fórmula se reduce a $$\textrm{End}(X)(Y) = X^{X^Y}$$ por lo que la mónada de doble dualización es un caso especial de la mónada de endomorfismo. Esta fórmula también muestra lo que la teoría algebraica correspondiente a $\mathbb{E}\mathsf{nd}(X)$ es: es la teoría cuyas operaciones son funciones $X^Y \to X$ y cuyos axiomas son todas las ecuaciones que éstas satisfacen.

Answer 2

Mi mónada favorita en este momento es la Mónada Giry . En realidad, no estoy seguro de que la definición que tengo en mente sea la misma que la que aparece en la literatura, pero he aquí una versión: hay una mónada en $\text{Set}$ que toma un conjunto $X$ al conjunto de todas las distribuciones de probabilidad en $X$ . Sus álgebras son una versión infinita de espacios convexos pero, sobre todo, su Categoría Kleisli es la categoría de conjuntos y funciones aleatorias (funciones $f : X \to Y$ que devuelven, no un elemento de $Y$ sino una distribución de probabilidad sobre los elementos de $Y$ ). Esta es una forma abstracta de pensar en matrices estocásticas .

Answer 3

La mónada Powerset

Dejemos que $T$ sea el endofunctor del conjunto de potencias en la categoría $\mathsf{Set}.$ Para cualquier conjunto $X,~TX=\mathscr P(X)$ es su conjunto de potencias, y para cualquier mapa de conjuntos $f:X\to Y,~Tf:\mathscr P(X)\to\mathscr P(Y)$ envía $A\subset X$ a $Tf(A)=f(A)$ . Hay transformaciones naturales $\eta:1_{\mathsf{Set}}\Rightarrow T$ y $\mu:T^2\Rightarrow T$ definido por $$\eta_X(x)=\lbrace x\rbrace\text{ and }\mu_X\Big(\lbrace A_i:i\in I\rbrace\Big)=\bigcup_{i\in I} A_i$$ donde $X$ es un conjunto cualquiera, $x\in X$ cualquier punto de $X$ y $\lbrace A_i\mid i\in I\rbrace$ es cualquier conjunto de subconjuntos distintos de $X$ . Esto define efectivamente una mónada.

Sus álgebras

A $T$ -álgebra es un conjunto $X$ y un morfismo de conjuntos $\theta:TX\rightarrow X$ es decir, un mapa que toma un subconjunto de $X$ y lo envía a un elemento de $X$ . Siendo un $T$ -significa que tiene que ser compatible con $\mu$ y $\eta$ como sigue: para cualquier $x\in X$ y para cualquier colección de subconjuntos $\mathscr{A}=\lbrace A_i: i\in I\rbrace$ de $X$ ,

$$\theta(\eta_X(x))=\theta(\lbrace x\rbrace)=x \text{ and } \theta\big(\mu_X(\mathscr A)\big)=\theta\big(T\theta(\mathscr A)\big)$$ donde la última igualdad significa $\theta\Big(\bigcup_{i\in I}A_i\Big)=\theta\Big(\lbrace\theta(A_i):i\in I\rbrace\Big)$

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Definir una relación binaria $\preceq$ en $X$ por $$a\preceq b\Longleftrightarrow \theta\big(\lbrace a,b\rbrace\big)=b$$ Entonces $(X,\preceq)$ es una semilatino completa, y para cualquier subconjunto $A\subset X,~\bigvee A=\theta(A)$ .

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Para cualquier $x\in X,~x\preceq x$ desde $\theta(\lbrace x,x\rbrace)=\theta(\lbrace x\rbrace)=x$ Así que $\preceq$ es reflexivo. Además, si $x\preceq y$ y $y\preceq x$ entonces, por definición $x=\theta(\lbrace x,y\rbrace)=y$ Así que $\preceq$ es antisimétrico. Por último, si $x\preceq y$ y $y\preceq z$ . Entonces tenemos $$\begin{array}{ccccc} \theta(\lbrace x,y,z\rbrace)&=&\theta(\mu_X(\lbrace \lbrace x,y\rbrace,\lbrace y,z\rbrace\rbrace))\\ &&\Vert&&\\ &&\theta(T\theta(\lbrace\lbrace x,y\rbrace,\lbrace y,z\rbrace\rbrace))&=\theta(\lbrace y,z\rbrace)&=&z\end{array}$$ así $$\begin{array}{ccccc}\theta(\lbrace x,z\rbrace)&=&\theta(T\theta(\lbrace\lbrace x\rbrace,\lbrace y,z\rbrace\rbrace))\\ &&\Vert&&\\ &&\theta(\mu_X(\lbrace\lbrace x\rbrace,\lbrace y,z\rbrace\rbrace))&=&\theta(\lbrace x,y,z\rbrace)=z\end{array}$$ es decir $x\preceq z$ y así $\preceq$ es transitivo. Esto demuestra que $(X,\preceq)$ es un poset.

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Para cualquier subconjunto $A\subset X,~\theta(A)\in X$ es su unión. De hecho, no hay nada que demostrar si $A=\emptyset$ y en caso contrario, para cualquier $a\in A,$ $$\begin{array}{ccccc} \theta(\lbrace a,\theta(A)\rbrace)&=&\theta( T\theta(\lbrace \lbrace a\rbrace,A\rbrace))&&\\ &&\Vert&&\\ &&\theta(\mu_X(\lbrace \lbrace a\rbrace,A\rbrace))&=&\theta(\lbrace a\rbrace\cup A)=\theta(A) \end{array}$$ por lo que para cualquier $a\in A,~a\preceq \theta(A)$ . Ahora bien, si $b\in X$ tiene $a\preceq b$ para todos $a\in A$ entonces $$\begin{array}{c} \theta(\lbrace \theta(A),b\rbrace)&=&\theta(T\theta(\lbrace A,\lbrace b\rbrace\rbrace))&&\\ &&\Vert&&\\ &&\theta(\mu_X(\lbrace A,\lbrace b\rbrace\rbrace))&&\\ &&\Vert&&\\ &&\theta(A\cup\lbrace b\rbrace)&=&\theta(\bigcup_{a\in A}\lbrace a,b\rbrace)\\ &&&&\Vert\\ &&&&\theta(\mu_X(\lbrace \lbrace a,b\rbrace:a\in A\rbrace))\\ &&&&\Vert\\ &&&&\theta(T\theta(\lbrace \lbrace a,b\rbrace:a\in A\rbrace))\\ &&&&\Vert\\ &&&&\theta(\lbrace \underbrace{\theta(\lbrace a,b\rbrace)}_{=b}:a\in A\rbrace)&=& \theta(\lbrace b\rbrace)=b \end{array}$$ es decir, para cualquier conjunto $A$ y cualquier límite superior $b,~\theta(A)\preceq b$ así que $\theta(A)$ es $A$ de la parte inferior del límite superior, por lo que $(X,\preceq)$ es una semilatino completa.

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A la inversa, cualquier semilatino de unión $(X,\leq)$ da lugar a un mapa $\bigvee$ del conjunto de poderes de $X$ a $X,$ $A\mapsto \bigvee A$ y se ve fácilmente que se trata de un $T$ -Álgebra.

Answer 4

A menudo es útil entender una idea general de la teoría de las categorías viendo cómo se especializa en los posets. En este caso, una mónada sobre un poset es precisamente un operador de cierre por lo que los ejemplos vienen dados por cualquier espacio topológico $X$ (donde el poset es el poset de subconjuntos de $X$ y el operador de cierre está tomando cierres). Las álgebras son precisamente los elementos cerrados del poset. Nótese cómo la relación con los funtores adjuntos se especializa en la relación entre Conexiones de Galois y operadores de cierre.

Obsérvese también cómo los ejemplos que no son conjuntos pueden pensarse en términos de cierre. Por ejemplo, la mónada Lista, cuyas álgebras son monoides, puede pensarse como el resultado de "cerrar un conjunto bajo concatenación".

Answer 5

Describiré los tres ejemplos siguientes:

1. La palabra mónada; sus álgebras son monoides

2. La mónada de la palabra reducida; sus álgebras son grupos

3. La mónada del camino; sus álgebras son pequeñas categorías

Monoides. Dejemos que $T\colon \textrm{Set}\to \textrm{Set}$ sea el functor que toma un conjunto $S$ al conjunto de palabras en $S$ es decir $$ T(S)=\bigsqcup_{n=0}^{\infty}S^n $$ y tomando una función $f\colon S\to S'$ a la función $T(S)\to T(S')$ que se aplica $f$ a cada símbolo que aparece en una palabra. Sea $\mu$ sea la transformación natural de $T^2$ a $T$ que concatena palabras, y que $\eta$ sea la transformación natural de $T^0$ a $T$ que incrusta conjuntos como palabras de longitud $1$ . Entonces $(T,\eta,\mu)$ es una mónada en Set. Su categoría de Eilenberg-Moore es la categoría de los monoides.

Grupos. Estoy siguiendo la construcción explícita de grupos libres descrita aquí . Dado un conjunto $S$ considere la unión disjunta $S\sqcup S$ y que $i$ sea la involución que intercambia las dos copias de $S$ . El gráfico de $i$ como un subconjunto de $(S\sqcup S)^2$ es el conjunto de palabras reducibles de longitud $2$ y su complemento es el conjunto de palabras reducidas. Estas nociones se extienden a las palabras en $S\sqcup S$ de longitud arbitraria, y existe una operación sobre secuencias de palabras reducidas dada por la concatenación seguida de la reducción.

Dejemos que $T\colon \textrm{Set}\to \textrm{Set}$ sea el functor que toma un conjunto $S$ al conjunto de palabras reducidas en $S\sqcup S$ y enviando una función $f\colon S\to S'$ a la operación que se aplica $f\sqcup f$ a cada símbolo y luego reduce la palabra resultante. Sea $\mu$ sea la transformación natural de $T^2$ a $T$ que toma una palabra cuyos símbolos pertenecen a $T(S)\sqcup T(S)$ y los concatena tras sustituir los símbolos procedentes del segundo factor por su inversión involucionada, y finalmente reduce la palabra resultante. Sea $\eta$ sea como antes. Entonces $(T,\eta,\mu)$ es una mónada en Set cuya categoría de Eilenberg-Moore es la categoría de grupos.

Categorías pequeñas.

Sea Quiv la categoría de quivers, es decir, multigrafos dirigidos con homomorfismos multigráficos. Sea $T\colon\textrm{Quiv}\to\textrm{Quiv}$ es el functor que lleva un carcaj a su carcaj de caminos, es decir, el carcaj con el mismo conjunto de vértices y aristas dadas por caminos en el carcaj original, y que lleva un morfismo de carcajs al morfismo de carcajs de caminos obtenido a partir del morfismo original aplicándolo a cada una de las aristas de un camino. Sea $\mu$ sea la transformación natural de $T^2$ a $T$ que concatena caminos de caminos, y dejemos que $\eta$ sea la transformación natural de $T^0$ a $T$ que consiste en morfismos del carcaj que son la identidad en los vértices y mapean las aristas a los caminos correspondientes de longitud $1$ . Entonces $(T,\eta,\mu)$ es una mónada en Quiv cuya categoría de Eilenberg-Moore es la categoría de categorías pequeñas.

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Hay una notable omisión en esta lista de ejemplos: los groupoides. Supongo que existe una mónada de "camino reducido" cuyas álgebras son groupoides, pero no he averiguado los detalles y me interesaría verlos.