Transformaciones lineales en espacios de funciones

Question

Así que estoy trabajando en la tarea para mi curso de introducción al álgebra lineal. El texto es Gareth Williams Linear Algebra with Application - 7th Edition. Actualmente estoy trabajando en la sección 4.7: Núcleo, Rango y el Teorema de Rango/Nulidad.

Pregunta: Problema 20. Demuestre que $T: P_3\rightarrow P_2$ definida como sigue en lineal. Encuentre el Núcleo y el Rango de T. Dé las bases para estos subespacios. $$ T(a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) = a_3x^2 - a_0 $$ Me siento bastante cómodo demostrando que lo anterior es lineal, es decir, puedo demostrar que la transformación preserva las operaciones de suma y multiplicación escalar. Lo demuestro tomando 2 polinomios en $P_1$ y $P_2$ y mostrando que $T(P_1 + P_2)$ = $T(P_1) + T(P_2)$ y que $T(cP_1)$ (donde $c$ es un elemento de los Reales) $= cT(P_1)$

Ahora entiendo que el núcleo es el subconjunto que mapea a 0, que creo que en nuestro caso debería ser el polinomio cero. Estoy atascado en cuanto a cómo encontrar el núcleo. Sé que el rango comparte la dimensión del rango y que la dimensión del rango es igual al rango. Lo que no sé es cómo tratar esto con polinomios. Me siento cómodo con los vectores que puedo utilizar para construir una matriz de transición, sólo que no sé cómo trabajar esto con polinomios. Siento que podría encontrar cómodamente una base de nuevo con espacios vectoriales o matriciales, pero la transferencia de estas ideas a los polinomios y la función que luchan con. ¿Ayuda?

Answer 1

El núcleo de este mapa es el siguiente: $$ker(T) = \{ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \in P_3 : a_3 x^2 - a_0 = 0\}$$

Si este polinomio $a_3 x^2 - a_0$ es igual a cero para todos los $x$ entonces sabemos que $a_3$ y $a_0$ debe ser cero. Así que el núcleo es, de hecho, el conjunto de todos los polinomios en $P_3$ con $a_3 = a_0 = 0$ es decir, todos los polinomios de la forma $a_1 x + a_2 x^2$ .

Se puede comprobar de alguna manera este resultado utilizando la nulidad de rango. La dimensión de $P_3$ es igual a $4$ . La dimensión de la imagen es $2$ y, por tanto, la dimensión del núcleo es $4-2 = 2$ .

Answer 2

Para encontrar el núcleo de un operador, suele ser una buena idea empezar con un objeto en el rango del operador, luego averiguar cómo ese objeto puede ser cero, y luego averiguar de dónde tenía que venir. Así, para todos los $p\in P_3$ sabemos que

$$T(p)=a_3x^2-a_0$$

Así que el rango se parece a los polinomios cuadráticos de la forma $\alpha x^2-\beta$ . ¿Cómo puede ser cero ese polinomio? Bueno, "cero" en este caso significa que el polinomio cero que es el polinomio que tiene todos los coeficientes cero. Así, para $\alpha x^2-\beta$ para ser el polinomio cero, debemos tener $\alpha=\beta=0$ . Así que, $T(p)=0\Leftrightarrow a_3=a_0=0$ . ¿Qué pasa con $a_1$ y $a_2$ ? ¡Pueden ser cualquier cosa!

A veces, cuando se trabaja con espacios de funciones de dimensión finita, como los polinomios, es más fácil fijar una base y luego sólo trabajar con el coeficientes del polinomio bajo esa base. Por ejemplo, si fijamos la base $\{1,x,x^2,x^3\}$ para $P_3$ podemos representar un polinomio $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ por su vector de coeficientes, $(a_0,a_1,a_2,a_3)^\intercal$ . Entonces puede representar operadores como su $T$ como matrices y partir de ahí (pregunta extra, ¿cuál es la matriz de su $T$ si se utiliza la base que mencioné).