Derivadas parciales de $v(x,y) = x f(x+y) + y g(x,y) $

Question

Para $v(x,y) = x f(x+y) + y g(x+y)$ donde $f$ y $g$ son dos veces diferenciables, necesito demostrar que $$ v_{xx} - 2v_{xy} + v_{yy} = 0 $$ (se entiende que $v_{xx} = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$ y $v_{xy} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$ .)

Mi intento: $$v_{xx} = 2f_x(x+y) + xf_{xx}(x+y) + yg_{xx}(x+y),$$ $$v_{yy} =xf_{yy}(x+y) + 2g_y(x+y) + yg_{yy}(x+y),$$ $$-2v_{xy} = -2(f_y(x+y)+ xf_{xy}(x+y)+g_x(x+y)+yg_{xy}(x+y) ).$$

El problema es que estos términos no suman cero. No puedo ver por qué. ¡Su ayuda será apreciada!

Answer 1

$f$ y $g$ son funciones de una sola variable. No hay derivadas parciales con respecto a $x$ y $y$ para estas funciones. Si sustituye $f_x$ por $f'$ , $f_{xy}$ por $f''$ etc. verás que la ecuación dada se satisface efectivamente.

$$v_{xx} = 2f'(x+y) + xf''(x+y) + yg''(x+y),$$ $$v_{yy} =xf''(x+y) + 2g'(x+y) + yg''(x+y),$$ $$-2v_{xy} = -2(f'(x+y)+ xf''(x+y)+g'(x+y)+yg''(x+y) ).$$