Resolver $a^2 + 2b^2 - 3c^2 - 6d^2 = 1$ y $ab=3cd$ sobre números enteros

Question

Me gustaría resolver este conjunto de ecuaciones sobre $\mathbb{Z}$ . Considere este par de cónico secciones:

\begin{eqnarray*} a^2 + 2b^2 - 3c^2 - 6d^2 &=& 1 \\ ab - 3 cd&=& 0 \end{eqnarray*}

Si estas dos ecuaciones fueran más $\mathbb{R}$ , esto debería definir la intersección de un par de cuádricas en el espacio cuatridimensional.

Un posible punto de partida es intentar que $\frac{a}{c} \times \frac{b}{d} = 3 $ por lo que estos números son proporcional .

Answer 1

Desde $ab=3cd$ se deduce que $3 \mid ab$ . Si $3\mid a$ entonces obtenemos que $1=a^2+2b^2-3c^2-6d^2 \equiv 2b^2 \pmod 3$ . Multiplicando por $2$ obtenemos $2 \equiv 4b^2\equiv b^2 \pmod 3$ lo cual es una contradicción porque no hay cuadrados de enteros congruentes con $2$ modulo $3$ .

Por lo tanto, $3 \mid b$ . Escriba $b=3b'$ . Entonces $ab'=cd$ . Esto significa que $a=kl, b'=mn, c=km, d=ln$ para algunos enteros $k,l,m,n$ . Sustituyendo esto a la primera ecuación obtenemos

$$(k^2-6n^2)(l^2-3m^2)=1.$$

De ello se desprende que $k^2-6n^2=1=l^2-3m^2$ o $k^2-6n^2=-1=l^2-3m^2$ . El segundo caso es imposible, ya que entonces $l^2 \equiv 2 \pmod 3$ . Por lo tanto, tenemos $k^2-6n^2=1=l^2-3m^2$ .

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de Pell y se conocen todas sus soluciones. Véase, por ejemplo aquí .

Entonces, todas las soluciones a la pregunta del PO son cuádruples $(a,b,c,d)=(kl,3mn,km,ln)$ , donde $(k,n)$ es una solución a la ecuación de Pell $k^2-6n^2=1$ y $(l,m)$ es una solución a la ecuación de Pell $l^2-3m^2=1$ .