$I=\int \frac{e^{x}+\cos(x)}{e^{x}+\cos(x)+\sin(x)}dx$

Question

Calcular $$I=\int \frac{e^{x}+\cos(x)}{e^{x}+\cos(x)+\sin(x)}dx$$

Intenté dividir la integral pero no llegué muy lejos. $I=\int \frac{[e^{x}+\sin(x)]'}{e^{x}+\sin(x)} + ...$

También he probado con $u=e^{x}+\sin(x)$ pero me estoy atascando. ¿Alguna idea?

Answer 1

Los hechos evidentes son $$\int\frac{e^x+\cos x+\sin x}{e^x+\cos x+\sin x}dx=\int 1dx=x+C,$$$$\int\frac{e^x+\cos x-\sin x}{e^x+\cos x+\sin x}dx=\ln|e^x+\cos x+\sin x|+C.$$ El promedio da $$\int\frac{e^x+\cos x}{e^x+\cos x+\sin x}dx=\int 1dx=\frac{x}{2}+\frac12\ln|e^x+\cos x+\sin x|+C.$$