Declaración: Dado un espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ y $\mathscr{K}$ y un operador acotado $A \in \mathscr{B}(\mathscr{H}, \mathscr{K})$ . Demostrar que $A$ es invertible si y sólo si $A$ está acotado por debajo y tiene un rango denso:
Intento de prueba:
$\Rightarrow$ Como somos invertibles entonces el rango de $A$ será igual al $\mathscr{K}$ . Además, si $A$ es invertible entonces $A^{-1}A = \mathbb{I}$ por lo que $\forall h \in \mathscr{H}\, , \|h\|=\|A^{-1}Ah\| \leq \|A^{-1}\|\|A(h)\| \rightarrow \frac{\|h\|}{\|A^{-1}\|}\leq \|A(h)\|$ por lo que estamos limitados por debajo.
$\Leftarrow$ (esta es la dirección en la que me encuentro) Ahora suponemos que $A$ está acotado por debajo y tiene rango denso entonces el opeartor es invertible. Como estamos acotados por debajo entonces somos inyectivos. Para ver esto suponemos por contradicción, entonces $\exists h\in \mathscr{H}, \, s.t. \, h \neq 0 \rightarrow A(h) = 0$ y como estamos acotados por debajo entonces $ \exists \delta >0 \, s.t \, \delta\|h\| \leq \|A(h)\| = 0$ por lo que llegamos a una contradicción ya que el L.H.S > 0 pero el R.H.S = 0.
ahora todo lo que queda por demostrar es la subjetividad. Sea $\{h_n\}_{1}^{\infty}$ sea una sucesión de Cauchy, ya que estamos acotados por abajo entonces $\delta\|h_n-h_m\| \leq \|A(h_n-h_m)\| = \|A(h_n)-A(h_m)\|$
lo que implica que $\|h_n-h_m\| \leq \frac{1}{\delta}\|A(h_n)-A(h_m)\|=\frac{1}{\delta}\|A(h_n-h_m)\|\leq\frac{\|A\|}{\delta}\|h_n-h_m\|< \varepsilon$ como el último término es Cauchy podemos dejar $\|h_n-h_m\| <\frac{\delta^2}{\|A\|} = \varepsilon$
Entonces sabemos que si somos Cauchy es $\mathscr{H}$ entonces somos Cauchy es $\mathscr{K}$ .
Y no sé cómo proceder a partir de este punto.
