¿Por qué el residuo de $f(z)=\cot(z)-\frac{1}{z}$ en $z=n\pi$ es diferente a través de diferentes enfoques?

Question

¿Cuál es el residuo de $f(z)=\cot(z)-\frac{1}{z}$ ?

Solución:\Ndesde que $f$ tiene un polo simple en $z=n\pi,then $$$ Res[f(z),n\pi]=\lim_{z\to n\pi}(z-n\pi)(\cot(z)-\frac{1}{z})=\lim_{z\to n\pi}(z-n\pi)\cot(z)-\lim_{z\to n\pi}\frac{z-n\pi}{z}$$

$$\implies Res[f(z),n\pi]=\lim_{z\to n\pi}\frac{(z-n\pi)\cos(z)}{\sin(z)}-0$$

Por la regla de L'hopital,

$$Res[f(z),n\pi]=\lim_{z\to n\pi}\frac{\cos(z)-(z-n\pi)\sin(z)}{\cos(z)}=\frac{(-1)^n}{(-1)^n}=1$$ .

Ahora, haremos uso del siguiente teorema para encontrar $Res[f(z),n\pi]$ -

Un punto islámico $z_0$ de una función $f$ es un polo de orden $m$ si $f$ puede escribirse de la forma $$f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-z_0)^m}$$ Donde $\phi(z)$ es analítica y no es cero en $z_0$ Además,

$Res[f(z),z_0]=\phi(z_0), $ si $m=1$ &

$Res[f(z),z_0]=\frac{\phi^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!} $ si $m\geq 2$

Aquí, $f(z)=\cot(z)-\frac{1}{z}=\frac{z \cos(z)-\sin(z)}{z \sin(z)}$ , $m=1$ así que..,

$$Res[f(z),n\pi]=\frac{n\pi \cos(n\pi)-\sin(n\pi)}{z}=\frac{n\pi (-1)^n}{n\pi}=(-1)^n$$

Answer 1

En efecto, hay un simple poste en $n\pi$ , para $n\ne0$ porque $$ \lim_{z\to n\pi}(z-n\pi)f(z)= \lim_{w\to0}wf(w+n\pi)= \lim_{w\to0}\left(w\cot w-\frac{w}{w+n\pi}\right)=1 $$ Por otro lado, $$ \lim_{z\to0}f(z)=\lim_{z\to0}\frac{z\cos z-\sin z}{z\sin z}= \lim_{z\to0}\frac{z-z^3/2-z+z^3/6+o(z^3)}{z^2+o(z^2)}=0 $$ así que en $0$ la función tiene una singularidad removible (que se convierte en un cero de orden $1$ ).