¿Por qué no el volumen de una esfera $ π^2r^3?$

Question

Imaginemos a dos similares círculos. Hacemos girar uno sobre la mitad de la otra circunferencia. Se da una esfera con un volumen de $1/2(2πr) \cdot πr^2 = π^2r^3$

Answer 1

El problema es que los puntos más cerca de la línea del centro del círculo no mueva a una distancia de $2\pi r$ cuando el círculo está girado $2\pi$ radianes. En lugar de un punto a una distancia $h$ desde la línea de centro se mueve una distancia de $2\pi h$. Ahora en la distancia $h$ de la longitud de la rotación del segmento paralelo a la línea del centro es $2\sqrt{r^2 - h^2}$. Por lo tanto el volumen es $$\int_0^r 2\sqrt{r^2 - h^2} \cdot 2\pi h \, dh = \frac{4 \pi r^3}{3}.$$

Answer 2

Es sólo la parte superior del semicírculo que viaja $2\pi$, lo Que da una contribución al volumen de $2\pi$ veces el área de la parte superior.

Otras partes de la semicírculo - cerca del diámetro de viajes a distancia mucho menor, por lo que contribuir más pequeño de los múltiplos de su área para el volumen.

Answer 3

Para una vista más general, de cualquier dimensión, resulta que el camino más fácil para encontrar el volumen de mayores dimensiones los ámbitos, incluido el de la $\mathbb R^3,$ es mediante la adición de dos a la dimensión y el uso de coordenadas polares. Dado que el $n$-volumen de la esfera de radio $R$ $\mathbb R^n$ es $$ \omega_n R^n, $$ the easy calculation is that the $(n+2)$-volume of the sphere of radius $R$ in $\mathbb R^{n+2}$ es $$ \frac{2 \pi \omega_n}{n+2} R^{n+2}, $$ o $$ \omega_{n+2} = \frac{2 \pi \omega_n}{n+2}. $$

Su ejemplo es $\omega_1 = 2,$ un segmento de "radio" $1$, por lo que la longitud de la $2,$ $\omega_3 = \frac{2 \pi 2}{3} = \frac{4 \pi }{3}.$

Los impares son $$ \omega_1 = 2, \; \omega_3 = \frac{4 \pi }{3}, \; \omega_5 = \frac{8 \pi^2 }{15}, \ \omega_7 = \frac{16 \pi^3 }{105},..., \; \omega_{2k +1} = \frac{ 2^{k+1} \; \; \pi^k}{(2k+1)!!} $$

El aún son $$ \omega_2 = \pi, \; \omega_4 = \frac{ \pi^2 }{2}, \; \omega_6 = \frac{ \pi^3 }{6}, ..., \; \omega_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} $$

Comparar http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Closed_forms