Cómo simplificar abs(x)/x

Question

He estado tratando de encontrar una manera de simplificar $\frac{|x|}{x}$ si $x$ es real y $\neq{0}$ . Los dos resultados posibles son $\pm{1}$ pero creo que hay una respuesta necesaria. Me he dado cuenta de que si x es positivo, tendremos +1, y si x es negativo, tendremos -1. Sin embargo, soy incapaz de simplificar la ecuación de manera que tengamos ese resultado.

Answer 1

Supongo que lo que buscas es:

$$\frac{|x|}{x}=\left\{\begin{array}+1&\text{if}&x>0\\-1&\text{if}&x<0\end{array}\right..$$ Esta función se escribe a veces $\text{sgn}(x)$ .

Answer 2

Una respuesta alternativa de $\quad \text{sgn}(x)\quad$ es $\quad 2\left(H(x)-\frac12\right)$ .

http://mathworld.wolfram.com/Sign.html

$H(x)$ es la función escalonada de Heaviside : http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html

Answer 3

No entiendo muy bien a qué te refieres con "respuesta obligatoria". Puedes escribir simplemente: $$\frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, \mbox{if } x > 0 \\ -1, \mbox{if } x < 0\end{cases}$$ O bien, escriba $\frac{|x|}{x} = \mathrm{sgn}(x)$ , donde $\mathrm{sgn}: \Bbb R \setminus \{0\} \to \{-1, 1\}$ es la función de signo.