Consideremos el espacio normado $(\mathbb R^2, |\cdot|).$ Dado un punto $p\in\mathbb R^2$ y un subconjunto $S\subset\mathbb R^2$ definen la distancia de $p$ a $S$ por $$d(p,S)=\inf\{|p-q|\colon q\in S\}.$$ Supongamos que $S$ es una línea dada por la ecuación $a\cdot x+b\cdot y+c=0$ (donde $a,b,c\in\mathbb R$ son constantes). ¿Cómo puedo demostrar que $$d(p,S)=\frac{|a\cdot x+b\cdot y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}},$$ utilizando la definición de $d(p,S)$ ( sin utilizando un álgebra lineal argumento)?
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DonAntonio
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Un punto general en esa línea puede escribirse como $$\left(x\,,\,-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\right)$$ (Si $\,b=0\,$ entonces esta es una línea vertical y la distancia es solo el valor aboluto de la diferencia de las abscisas y no necesitamos todo esto).
Entonces se quiere minimizar la función $$f(x):=\sqrt{\left(\alpha-x\right)^2+\left(\beta-\left(-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\right)\right)^2}\,\,,\,\,p=(\alpha,\beta)$$ Por supuesto, no tienes que trabajar con esta función si no quieres: puedes trabajar con su cuadrado $\,g(x):=f(x)^2\,$ (¿por qué?) , así que $$g'(x)=2(x-\alpha)+\frac{2a}{b^2}(ax+b\beta+c)=0\Longrightarrow x=\frac{b^2\alpha-ab\beta-ac}{a^2+b^2}...etc$$
bubba
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Podemos suponer que $a^2 + b^2 = 1$ . Entonces la línea se puede escribir en forma paramétrica:
$$ x = -bt + ac $$ $$ y = at + bc $$
La distancia (al cuadrado) del punto $(x, y)$ al punto genérico de la línea es entonces:
$$d(x,y,t) = [x - (-bt +ac)]^2 + [y - (at +bc)]^2$$
Se trata de una cuadrática simple en t, por lo que es fácil encontrar el lugar donde es un mínimo (ya sea por diferenciación o utilizando propiedades conocidas de las funciones cuadráticas).
