convergencia de series complejas.

Question

¿Para qué valores de $(a,b\in \mathbb{C})$ ¿esta serie converge o diverge?

$\sum\frac{(k-a)^2}{(k-b)^3}$

si $a,b\in\mathbb{R}$ mediante la prueba de comparación de límites (con $\sum\frac{1}{k}$ ) Sé que la serie diverge pero si $(a,b\in \mathbb{C})$ No sé cómo continuar.

Answer 1

Tenemos que asumir que $b$ no es un número entero negativo. Escribe $$(k-a)^2=(k-b+\color{red}{b-a})^2=(k-b)^2+2(k-b)\color{red}{(b-a)}+\color{red}{(b-a)^2}.$$ Como la serie $\sum_k\frac 1{(k-b)^p}$ , donde $p=2$ o $p=3$ son convergentes, los problemas se reducen a la convergencia de $\sum_k\frac 1{k-b}$ que no tiene lugar, ya que $\sum_k\frac 1{k-b}-\frac 1k$ es convergente.