Encuentra el ángulo entre vectores

Question

Paralelogramo construido sobre los vectores $a=5p-2q$ , $b=3p+2q$ , $|p|=2$ , $|q|=3$ , $(p\wedge q)=120^{\circ}$ .

$\sin(a\wedge b)=???$

Answer 1

Sugerencia

Puede utilizar el producto de puntos.

1) $a\cdot b=(5p-2q)\cdot (3p+2q)=15|p|^2-4|q|^2+4p\cdot q$

2) $p\cdot q=|p||q|\cos 120°$

Ahora ya sabes $a\cdot b$ .

3) $a\cdot b=|a||b|\cos x$ donde $x$ es el ángulo entre $a$ y $b$ .

Pero

4) $|a|^2=a\cdot a=(5p-2q)(5p-2q)$ y $|b|^2=b\cdot b=(3p+2q)(3p+2q)$

Haciendo los cálculos anteriores se puede encontrar $\cos x$ y luego $\sin x$ .

¿Puedes terminar?

Answer 2

Pista: El producto cruzado de dos vectores en un espacio tridimensional tiene la propiedad de que $$ \|\vec{v}\times\vec{w}\|=\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|\sin(\theta) $$ donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{w}$ .

En su caso, deje que $\varphi$ sea el ángulo entre $a$ y $b$ . Entonces, $$ \sin(\varphi)=\frac{\|a\times b\|}{\|a\|\|b\|}. $$ Observe que $a\times b=(5p-2q)\times(3p+2q)=15p\times p-6q\times p+10p\times q-4q\times q.$ Como el producto cruzado de un vector consigo mismo es $0$ y reordenando los factores en un producto cruzado se cambia el signo, tenemos que el producto cruzado es $$ a\times b=16p\times q. $$ Por lo tanto, $$ \|a\times b\|=16\|p\times q\|=16\|p\|\|q\|\sin(120^\circ)=96\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=48\sqrt{3}. $$ Ahora, queremos calcular $\|a\|$ . Utilizando el producto punto, $$ \|a\|^2=a\cdot a=(5p-2q)\cdot(5p-2q)=25\|q\|^2-20p\cdot q+4\|q\|^2 $$ Sustituyendo, $\|a\|^2=241-20p\cdot q$ . Finalmente, el producto punto de dos vectores es $p\cdot q=\|p\|\|q\|\cos(120^\circ)=-3$ . Por lo tanto, $\|a\|^2=301$ .

Te dejaré continuar desde aquí.

También hay que tener en cuenta que, como alternativa, se pueden crear dos vectores para $p$ y $q$ por ejemplo $p=(2,0)$ y $q=\left(3\cos(120^\circ),3\sin(120^\circ)\right)$ y luego calcular $a$ y $b$ y calcular a partir de ahí.