Grupo de automorfismo de un grupo abeliano

Question

Sabemos que para el grupo abeliano elemental $G$ de orden $p^n$ su grupo de automorfismo es $GL(n,\mathbb{Z}_p)$ . Aquí consideramos el grupo $G$ como un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{F}_p\cong \mathbb{Z}_p$ y todo automorfismo es una transformación lineal invertible del espacio vectorial y a la inversa, por lo que el grupo de automorfismos es $GL(V)\cong GL(n,\mathbb{Z}_p)$ .

¿Es cierto que el grupo de automorfismo del grupo abeliano $(\mathbb{Z}_{p^2})^n$ es $GL(n,p^2)$ ? (Creo que no tiene por qué ser cierto; no podría aplicar la técnica del grupo anterior, porque aquí el grupo $\mathbb{Z}_{p^2}$ es un anillo, pero no un campo, por lo que no puedo considerar el grupo como un espacio vectorial).

Answer 1

Si G es un producto directo finito de grupos cíclicos de orden p n entonces Aut(G) es isomorfo al grupo GL(n, Z /p n Z ) de matrices n×n invertibles sobre el anillo Z /p n Z . Estas matrices funcionan de forma sorprendentemente similar a las matrices sobre un campo. Son invertibles si y sólo si su determinante es invertible (es decir, no divisible por p).

G se llama grupo homocíclico . Aut(G) tiene un subgrupo normal que consiste en aquellas matrices que actúan trivialmente sobre el espacio vectorial G/G p . Este subgrupo normal se llama subgrupo de congruencia y consiste en aquellas matrices que son congruentes con la identidad mod p.

Los grupos abelianos finitos generales tienen grupos de automorfismo algo más complicados, que siguen siendo grupos matriciales, pero en los que las entradas proceden de anillos y bimódulos diferentes (es decir, se requieren distintos tipos de condiciones de congruencia). Técnicas similares funcionan para entender las álgebras de dimensión finita.

Answer 2

Tienes razón: no es cierto (¿por qué habría de serlo, en realidad?). Para ver que es suficiente con considerar un único contraejemplo - basta con tomar $p=n=2$ . El grupo $\mbox{Aut}(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4)$ es de orden 96, mientras que $\mbox{GL}(2,4)$ es del orden de 180.