Dejemos que $ A $ ser un $ n \times n $ matriz. Demuestre que sobre los números complejos

Question

Dejemos que $ A $ ser un $ n \times n $ matriz. Demuestre que sobre los números complejos , existe una matriz invertible P tal que $ P^{-1}AP$ es una matriz triangular superior.

Respuesta: Si la matriz $A $ es diagonalizable entonces $ P^{-1}AP $ es diagonal y, por tanto, es una matriz triangular superior. Ahora bien, si $ A $ no es diagonalizable, entonces $ P^{-1} AP $ tiene Forma canónica de Jordania que es triangular superior. Por lo tanto, la prueba . ¿Es un enfoque correcto? Cualquier ayuda

Answer 1

Porque $C$ es algebraicamente cerrado, $A$ tiene un vector propio no nulo $v$ . Reescribiendo $A$ en relación con cualquier base $(v,w_2,\dots,w_n)$ vemos que $A$ es similar a una matriz de bloques de la forma $\pmatrix{\lambda & B \\ 0 & A_1}$ , donde $A_1$ es algo $(n-1) \times (n-1)$ matriz. Ahora, considerando la acción de $A_1$ en el subespacio generado por $w_2, \dots, w_n,$ el resultado deseado se puede obtener por inducción en $n$ .