Necesito encontrar el único factor primo de arriba $1000$ de $2^{22}+1$ . Se supone que no debo ampliar el número en su forma real. Empecé por factorizarlo como una suma de $11th$ poderes, pero esto sólo dio $2^2+1=5$ como factor, y dejó junto a él una colección poco amigable de potencias de dos. No estoy seguro de cómo proceder.
Respuesta
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Escríbalo como $4 \cdot 2^{20} + 1$ y utilizar la factorización
$$4x^4 + 1 = (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$$
(un caso especial de la identidad de Sophie Germain) para obtener
$$4 \cdot 32^4 + 1 = (2 \cdot 32^2 + 2 \cdot 32 + 1)(2 \cdot 32^2 - 2 \cdot 32 + 1).$$
Tenemos $2 \cdot 32^2 = 2048$ por lo que el primer factor es $2048 + 64 + 1 = 2113$ y el segundo factor es $2048 - 64 + 1 = 1985$ . Este último es divisible por $5$ por lo que el primero debe ser el único factor primo por encima de $1000$ suponiendo que exista (también podríamos comprobar que es primo).
