Teorema fundamental del álgebra. Mostrar el polinomio como producto de polinomios lineales

Question

Utilizando el algoritmo de la división repetidamente, demuestre

$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 = a_n (x-k) (x-j) \cdots (x-b)$$ para $n$ mayor o igual que $1$ .

Mi intento: (Prueba por inducción) Considerar el caso $n=1$ . Entonces, podemos escribir $$ax + b=a\left(x-\left(-\frac{b}{a}\right)\right).$$ Ahora supongamos que es cierto que $$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 = a_n (x-k) (x-j)\cdots(x-b)$$ para algunas constantes $k,j,\ldots,b$ .

Demostraremos que $$a_{n+1} x^{n+1} + a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 = a_{n+1}(x-k')(x-j')\cdots(x-b')$$ para algunas constantes $k',j',\ldots,b'$ .

Estoy atascado aquí, ¿utilizo el algoritmo de división aquí?

Answer 1

Vas en la dirección equivocada.

Su caso inicial $n=1$ es correcto.

Ahora supongamos que es cierto para $n$ , tome un polinomio $p$ de grado $n+1$ . Entonces el teorema fundamental muestra que existe alguna $x_0$ tal que $p(x_0) = 0$ . Entonces el algoritmo de la división muestra que se puede escribir $p(x) = (x-x_0)q(x) + r(x)$ donde el grado de $r$ es menor que la de $x \mapsto (x-x_0)$ es decir, es una constante. Dado que $p(x_0) = 0$ se deduce que $r(x) = r(x_0) = 0$ y tenemos $p(x) = (x-x_0)q(x)$ donde el grado de $q$ es $n$ . Por supuesto $q$ puede ser factorizado, por lo tanto también lo puede ser $p$ .