Tengo muchas dificultades para encontrar los productos de las permutaciones y no sé por qué. Si alguien puede explicarme por qué $$(1 2 3 4) (1 2 4 3) (1 2 4 3) = (1 3)$$ Eso sería genial.
Respuesta
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Hay dos convenciones que debes elegir, y ambas afectan a la respuesta. La primera convención es si se leen las composiciones en el orden estándar (que es de derecha a izquierda, en el sentido de que la permutación más a la derecha "ocurre primero") o en el otro orden.
La segunda convención es si las permutaciones actúan sobre "números" o sobre "posiciones". Por ejemplo, supongamos que intentamos encontrar el compuesto $(12) (23)$ . Aplicamos la permutación $(23)$ primero, por lo que hemos enviado $2$ a $3$ y $3$ a $2$ . Ahora bien, ¿cuál es el resultado de aplicar $(12)$ ¿a esto? ¿Significa esto que intercambiamos $1$ el número y $2$ el número o significa que cambiamos el primero y el segundo ¿números? Con la primera interpretación el compuesto se convierte en $(123)$ y con la segunda interpretación el compuesto se convierte en $(132)$ .
La convención estándar es que las permutaciones actúan sobre los números. (Esta convención, combinada con la anterior, es la convención por la que las permutaciones son funciones $\{ 1, 2, \dots n \} \to \{ 1, 2, \dots n \}$ y la composición de permutaciones es la composición de funciones en el sentido y el orden habituales). Así que aquí tienes cómo elaborar esta composición de forma que sea fácil comprobar tu trabajo y comparar las convenciones con otra persona. Primero, escribe los números $1, 2, 3, 4$ . A continuación, aplica cada permutación, de derecha a izquierda. Aplicando $(1243)$ da
$$2, 4, 1, 3.$$
Aplicando $(1243)$ vuelve a dar
$$4, 3, 2, 1.$$
Por último, aplicando $(1234)$ da
$$1, 4, 3, 2.$$
Así que entiendo que este producto es $(24)$ . Creo que se obtiene $(13)$ de ir de izquierda a derecha.
