¿El cierre del subconjunto convexo de $X$ es de nuevo un subconjunto convexo de $X$?

Question

Hoy estaba revisando mi ejercicio de libro de texto y me hice cargo de la siguiente pregunta.

Deje que $X$ sea un espacio lineal normalizado con la norma $\lVert\cdot\rVert$ y $A$ es un subconjunto convexo no vacío de $X$ y luego pruebe que $\operatorname{Closure}(A)$ también es un subconjunto convexo de $X$. Le di una oportunidad, pero no pude tener éxito.

Answer 1

Escoja dos puntos en el cierre del conjunto. Digamos $x,y \in \bar{X}$. Así que existen algunas secuencias $\{x_i\}$ y $\{y_i\}$ en $X$ que tienden a $x$ y $y$ respectivamente.

Pero para todos los $i$ y $0 < t < 1$ tenemos eso: $$ tx_{i} + (1-t)y_{i} \in X$$

Ahora tomar límites da el resultado correcto.

Answer 2

Tal vez para alejarse de las secuencias, para $t\in I$, considere el mapa continuo $t: X \times X\to X$ dado por $(x,y)\mapsto tx + (1-t)y$. Dado que $A$ es convexo, $t(A\times A) \subset A$.Por lo tanto, por continuidad tenemos $$t\left (\overline A \times \overline A\right ) \subset \overline{t(A\times A)} \subset \overline A,$$ therefore $\overline A$ es convexo.

Answer 3

Deje $x,y\in Closure(A)$, $t\in [0,1]$. Elija secuencias $x_{k},y_{k}\in D$ tales que $x_{k}\rightarrow\ x$ y $y_{k}\rightarrow\ y$. Debido a que A es convexa, tenemos $tx_{k}+(1-t)y_{k}\in D$. Entonces, $$tx+(1-t)t=\lim (tx_{k}+(1-t)y_{k})\ \in \bar A$$

Answer 4

Dado $x,y \in \overline{A}$, existen secuencias $(x_n)_n, (y_n)_n \subset A$ tales que $\lim_nx_n=x$ y $\lim_ny_n=y$. Dado que $A$ es convexo, y $x_n,y_n \in A$ por cada $n$, tenemos $tx_n+(1-t)y_n \in A$ por cada $t \in [0,1]$. Se deduce que $tx+(1-t)y=\lim_n[tx_n+(1-t)y_n] \in \overline{A}$. Por lo tanto $\overline{A}$ es convexo.