¿Media, valor esperado o expectativa de una constante?

Question

Según Wikipedia, "el valor esperado de una constante es igual a la constante misma; es decir, si $c$ es una constante, entonces $\mathbb E[c] = c$." Actualmente estoy teniendo dificultades para imaginar lo que esto significa. Si tengo una variable aleatoria $X$ que representa el número de veces que una moneda cae en la cabeza, entonces puedo ver cómo $\mathbb E(X)$ es $0.5$. Pero $\mathbb E(0.5)$ parece "sin sentido". ¿Puede alguien explicar el significado del valor esperado de una constante?

Answer 1

Si ayuda a su intuición, piense en ello como una variable aleatoria no aleatoria. Algo como:

p(y)= $$\begin{cases}1, &\quad \text{ if } y=c\\ 0, &\quad \text{otherwise} \end{cases}$$

Entonces el valor esperado es E(Y)=\sum Pr(Y=y)\times y=c\ times1 =c. $$

Si es una constante, no puede variar y no hay aleatoriedad. ¡Así que debe ser ella misma, porque no puede ser otra cosa!

Answer 2

Está calculando el valor de expectativa de la variable aleatoria $X$ cuyo resultado es siempre el mismo. Centrémonos en el caso discreto, por simplicidad. Formalmente desea calcular el valor de exp. de la variable aleatoria

$$X:(\Omega,P)\rightarrow \operatorname{Im}(X):=\{c\}$$

donde $\omega\mapsto X(\omega):=c$ para todos los $\omega\in\Omega$, con $(\Omega, P)$ conjunto de probabilidad finita y $c\in\mathbb R$. Entonces

$$P_X(X=c):=P(\{\omega\in\Omega~:X(\omega)=c\})=P(\Omega):=1$$

y

$$\mathbb E[X]:=\sum_{c_i\in\operatorname{Im}(X)}c_i\cdot P_X(X=c_i)=c\cdot P_X(X=c)=c\cdot 1=c.$$

El caso continuo es similar, con diferencias técnicas.

Answer 3

Creo que la clave aquí es ver X como: una variable aleatoria.

Al escribir E(X), x es una constante, estás asumiendo que X es la variable aleatoria de una constante que a su vez significa que su valor de probabilidad es 1.