Reglas para el producto y la notación de suma

Question

Cuando tratamos con notación de suma, hay algunos atajos computacionales útiles, por ejemplo: $$\sum\limits_{i=1}^{n} (2 + 3i) = \sum\limits_{i=1}^{n} 2 + \sum\limits_{i=1}^{n} 3i = 2n + \sum\limits_{i=1}^{n}3i$$

Sin embargo, no creo que conozca todos los atajos útiles aquí. ¿Hay otros trucos computacionales que uno debería tener en cuenta? ¿Qué es una buena manera de pensar en esto?

Más importante aún, considere la notación del producto: $$\prod\limits_{i=1}^{n} (\sqrt{2} - \sqrt[n]{2})$$

No sé cuáles son los atajos aquí. ¿Cuáles son algunas de las formas más efectivas de atacar tales cálculos?

Answer 1

Suma del producto de dos funciones.

$$\sum_{i=1}^{n} f(x) g(x)$$ = $$ \sum_{i=1}^{n}f(x). g(x) - [ f(x). g(x-1) + f(x-1). g(x-2) + f(x-2). g(x-3) + .... + f(2). g(1) + g(x). f(x-1) + g(x-1). f(x-2) + g(x-2). f(x-3) + .... + g(2). f(1)]

Esta no es la forma más simple todavía. Alguien por favor ayúdame a simplificar y reescribir.

Answer 2

Aquí está la fórmula para la suma de los primeros $n$ números naturales y los primeros $n$ cuadrados. Hay una fórmula similar para la suma de los primeros $n$ cubos, etc...

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Answer 3

La fórmula para la suma de una serie aritmética también es útil:

si conocemos el primer término $a_1$ y el último término $a_n$, y la serie tiene $n$ términos, entonces la suma será $$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

Answer 4

Supongo que $\prod\limits_{i=1}^{n}(x)$ significa multiplicar de 1 a n, que es n factorial. Así que tal vez ayude. Además $(\sqrt{2} - \sqrt[n]{2})$ no contiene ninguna i.