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¿Es la topología cofinita en un conjunto incontable primero contable?

Sea $X$ cualquier conjunto incontable con la topología cofinita. ¿Este espacio es el primero en contarse?

No lo creo porque parece que debe haber un número incontable de barrios por cada $ x \in X$. Pero no estoy seguro de si esto es cierto.

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