¿Por qué nos molestamos en $u$ -¿Sustitución?

Question

Esta pregunta me ha molestado desde que me enteré $u$ -sustitución (Una nota aquí: No tengo educación formal a este nivel, así que definitivamente puedo haberme perdido algo). El método se presenta como un concepto inverso a la regla de la cadena y se demuestra de forma bastante sencilla:

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = g'(x)f'(g(x)) \iff f(g(x)) = \int(g'(x)f'(g(x))\,dx$$

Dejemos que $u = g(x)$ .

Entonces $\dfrac{du}{dx}=g'(x) \implies du=g'(x)dx = u'dx$

$$f(u) = \int u'f'(u) \, dx$$

$$f(u)=\int f'(u)\,du$$

Lo cual es claramente cierto, dejándonos con esta nueva integración de $f'(x)dx$ . Pero el sistema es algo antinatural, ya que al final todo este proceso se basa en la tercera línea de la prueba, donde manipulamos infinitesimales. He visto múltiples preguntas en este sitio preguntando por qué está bien tratar $\dfrac{dy}{dx}$ como una fracción y multiplicar el denominador, y al final es innecesario. Digamos que encontramos $\int 2x\sin{x^2}dx$ intuitivamente podemos hacerlo de la siguiente manera, encontrando directamente $f(x)$ y $g(x)$ :

$$f(x) = \text{outer function}= \sin x$$ $$g(x) = \text{inner function with derivative} = x^2$$

Así, la integral original puede resolverse como $F(g(x))+C$ donde F es una antiderivada de $f$ , dándonos nuestra respuesta.

$$\int 2x\sin x^2\,dx = -\cos x^2 +C$$

Pero ciertamente no es así como se enseña. Imagino que hay una razón importante para ello, pero ¿cuál es esa razón?

Answer 1

Creo que la mejor justificación es que lleva al contexto general de las sustituciones para la integración múltiple. Por ejemplo, se puede demostrar que el jacobiano de una transformación polar $$T(r,\theta)=(r\cos \theta,r\sin \theta)$$ viene dada por $$\begin{vmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -r\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r$$ Esto permite simplificar enormemente muchas integrales. Por ejemplo, la famosa prueba de la integral $$\int_0^\infty {e^{-x^2}\,\mathrm{d}x}$$ implica hacer el cambio de variables $$\iint{e^{-(x^2+y^2)}\,\mathrm{d}A}=\iint{re^{-r^2}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta}$$

Las sustituciones en U son sólo el caso de una variable de la regla mucho más general.

Además, incluso en el contexto del cálculo de una sola variable, algunas sustituciones son inevitables. Por ejemplo, ¿cómo se propone resolver $$\int{\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x}$$ sin hacer ninguna sustitución?

Answer 2

Cualquier integral indefinida, que puedes integrar para obtener una conocido se puede hacer simplemente basándose en el teorema fundamental del cálculo. Todos los demás trucos como $u$ -sustitución, fracciones parciales, integración por partes sólo facilitan este procedimiento, es decir, nos ayudan adivinando la antiderivada.

Answer 3

Como todos los demás han dicho, hace la vida más fácil. Por qué funciona: ∫f'(u)u' d*x* = ∫f'(u) d*u* (ambos iguales a f(u), el primero por la regla de la cadena, el segundo directamente por el teorema fundamental), así que puedes usar u' d*x* = d*u* como una forma abreviada de reescribir ∫f'(u)u' d*x* en el método formal de sustitución de u.