Integrabilidad equitativa y convergencia débil de las medidas

Question

Dejemos que $f_n$ sea una secuencia de funciones en $L^1(K, m ; \mathbb{C})$ , $K$ métrica compacta y $m$ una medida de Radón en $K$ . Supongamos que $\| f_n \|_1 \leq 1$ .

Según tengo entendido, hay una subsecuencia que converge débilmente en $L^1$ si y sólo si el $f_n$ son equitativamente integrables, lo que significa que : $$\forall \epsilon>0 \exists \delta >0 \forall A, m(A) \leq \delta \forall n \int_A |f_n| dm \leq \epsilon $$

Ahora bien, observe que las medidas $f_n m$ tienen una variación total acotada, y por lo tanto existen subsecuencias débilmente* convergentes. ¿Estoy en lo cierto al suponer que no existen subsecuencias débilmente convergentes en $L^1(m)$ si y sólo si todos los valores de adherencia débil-* de $f_n m$ son singulares con respecto a $m$ ?

Estoy bastante seguro de la implicación "no débil $L^1$ valores de adherencia $\Rightarrow$ todos los valores de adherencia de $f_n m$ debe ser singular". La otra implicación parece claramente cierta, pero no tengo argumentos.

Se agradece toda la ayuda.

Answer 1

existe una subsecuencia que converge débilmente en $L^1$ si y sólo si el $f_n$ son equitativamente integrables

No es cierto lo que se dice. Uno puede entrelazar una secuencia convergente con una secuencia no equi-integrable; el resultado seguirá teniendo una subsecuencia convergente. Lo que es cierto (y lo que probablemente querías decir) es que la equi-integrabilidad es equivalente a la precompacidad en la topología débil.

"no débil $L^1$ valores de adherencia $\Rightarrow$ todos los valores de adherencia de $f_n m$ debe ser singular

No. Deja que $K=[0,1]$ y considerar la secuencia $$f_n = 2^n \chi_{[2^{-n-1},2^{-n}]}-2^{-n-1}\chi_{[2^{-n},2^{-n+1}]}$$ Satisface $\|f_n\|_1=1$ y no tiene una subsecuencia débilmente convergente en $L^1$ (compruebe la convergencia con $$\phi = \sum_{n \text{ even }} \chi_{[2^{-n},2^{-n+1}]}$$ para ver que falla). Sin embargo, las medidas $f_n \,dm$ convergen a $0$ en la topología débil* de $C(K)^*$ .

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Por otro lado, es cierto que teniendo una subsecuencia que converge débilmente en $L^1$ implica tener un punto de agrupación débil* no singular. Esto se debe simplemente a que los puntos débiles $L^1$ La convergencia implica la convergencia débil* de las medidas asociadas.