Mosaico óptimo para una colección de particiones

Question

Me interesa una posible generalización de Relación de mosaico en el conjunto de particiones (la pregunta sólo se ha respondido parcialmente).

Dejemos que $x$ sea un conjunto infinito y que $\text{Part}(x)$ sea la colección de todas las particiones de $x$ . Además, dejemos que $P \in \text{Part}(x)$ et $t\subseteq x$ . Establecemos $$P_{[t]} = \{p\in P:p\cap t \neq \emptyset\}.$$ Definimos el relación de mosaico en $\text{Part}(x)$ por $$ P \triangleleft Q \textrm{ if and only if for all } S\subseteq P\textrm{ we have } \mathsf{card}(S) \leq \mathsf{card}(Q_{[\bigcup S]}).$$ En otras palabras, la relación $P\triangleleft Q$ se mantiene si ningún subconjunto $S$ de $P$ está cubierto por un subconjunto de $Q$ que tiene una cardinalidad menor que $S$ .

Dejemos que $\mathcal{A}\subseteq \text{Part}(x)$ sea una colección no vacía de particiones en el conjunto $x$ tal que existe un conjunto $M$ de subconjuntos de $x$ para que cada miembro de $\mathcal{A}$ refina $M$ (es decir, para cada $A\in\mathcal{A}$ y $a\in A$ hay $m\in M$ con $a\subseteq m$ ).

Pregunta. ¿Existe una partición $Z\in\text{Part}(x)$ tal que

• $Z$ refina $M$ et
• $Z \triangleleft A$ para todos $A\in\mathcal{A}$ ?

Answer 1

1) Esta pregunta (tal y como está planteada) tiene una sencilla respuesta negativa. Basta con tomar cualquier conjunto contable $x$ y poner $M$ sea la familia de subconjuntos finitos de $x$ . Entonces para la familia $\mathcal A$ de todas las posibles particiones de $x$ en subconjuntos finitos no hay ninguna partición $Z$ de $x$ en conjuntos finitos tales que $Z\triangleleft A$ por cada $A\in\mathcal A$ .

De hecho, cualquier partición $Z$ de $x$ en conjuntos finitos es infinito. Así, podemos tomar cualquier subfamilia de 2 elementos $S=\{z,z'\}\subset Z$ y tomar cualquier partición $A\in\mathcal A$ tal que $\{z,z'\}\in A$ . Entonces $|S|=2>1=|A_{[\cup S]}|$ , siendo testigo de que $Z\not\triangleleft A$ .

2) Se puede construir un contraejemplo un poco más complicado de la siguiente manera. Consideremos la familia $\mathcal A$ de todas las posibles particiones del conjunto $\mathbb P:=\mathbb R\setminus\mathbb Q$ de los números irracionales en susbetos compactos. Sea $M$ sea la familia de todos los subconjuntos compactos de $\mathbb P$ dotado de la topología de Vietoris. Es bien sabido que el espacio $M$ es separable y metrizable.

Entonces no hay partición $Z$ de $\mathbb P$ en subconjuntos compactos tales que $Z\triangleleft A$ para todos $A\in\mathcal A$ .

De hecho, como el espacio $\mathcal P$ no es $\sigma$ -compacto, cada partición $Z$ de $\mathbb P$ en subconjuntos compactos no vacíos de $\mathbb P$ es incontable y se considera un subespacio del hiperespacio $M$ no es discreto. Por lo tanto, $Z$ contiene una secuencia $\{z_n\}_{n\in\omega}\subset Z$ de elementos distintos por pares que converge a un conjunto compacto $z_\omega\in Z$ . Entonces el conjunto $S:=\{z_n\}_{n\le\omega}$ tiene una unión compacta en $\mathbb P$ y por lo tanto $\bigcup S\in A$ para alguna partición $A$ de $\mathbb P$ en conjuntos compactos. Teniendo en cuenta que $|S|=\omega>|A_{[\cup S]}|=1$ concluimos que $Z\not\triangleleft A$ .

3) De hecho, la diferencia entre $|S|$ y $|A_{[\cup S]}|$ puede ser arbitrariamente alta. En efecto, para cualquier cardinal regular infinito $\kappa$ considere el conjunto $x=\kappa$ y la familia $M$ de subconjuntos de $x$ de cardinalidad $<\kappa$ . Sea $\mathcal A$ sea la familia de todas las posibles particiones de $x$ en subconjuntos de cardinalidad $<\kappa$ . Entonces, para cualquier partición $Z\in\mathcal A$ y cualquier subfamilia $S\subset Z$ de cardinalidad $|S|<\kappa$ allí la unión $\bigcup S$ tiene cardinalidad $<\kappa$ y por lo tanto es un elemento de alguna partición $A\in\mathcal A$ para lo cual $|A_{[\cup S]}|=1$ .