Estaba repasando los apuntes de Milne sobre la teoría del campo de clases y me encontré con la siguiente dificultad de comprensión:
En la página 155, después de la discusión del conductor, sólo escribe que cualquier extensión abeliana $L$ de un campo numérico $K$ está contenida en algún campo de clase de rayo $L_\mathfrak{m}$ para algún módulo $\mathfrak{m}$ . Sin embargo, no veo cómo se deduce esto de la discusión. ¿Puede alguien explicar esto, por favor?
Además, en el ejemplo 3.10, también en la p. 155, afirma que el campo de clase del rayo de $\mathbb{Q}$ viene dada por $\mathbb{Q} (\zeta+\zeta^{-1})$ resp. $\mathbb{Q}(\zeta)$ dependiendo de si el módulo contiene un primo infinito. ¿Alguien conoce una referencia para un cálculo de esto que no implique las nociones de Ideles?
Aquí están las notas: https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CFT310.pdf
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¿Quiere decir que el mapa Artin de $I_K$ al grupo de Galois de $L/K$ tiene su núcleo contenido en $P_{K,1 \bmod^* m} N_{L/K}(I_{L,m})$ para algún módulo $m$ ? Este es el teorema principal de la CFT. Una vez que se asume se puede tomar la extensión abeliana máxima $F/K$ cuyo núcleo del mapa de Artin está en $P_{K,1 \bmod^* m} N_{F/K}(I_{F,m})$ y $L\subset F$ .