Probabilidad de fullhouse en POKER - 54 cartas

Question

Necesito calcular la probabilidad de obtener fullhuose en un juego de póker, usando 54 cartas - incluyendo 2 comodines.

Sé que tengo 13 tipos de cartas, pero necesito 2 de 4, luego tengo 12 tipos y necesito 1 de 4, y luego tengo 2 comodines pero necesito 1. (además de 3744 fullhouses regulares).

Mi cálculo:

$$13\binom{4}{2}\cdot12\binom42\cdot2=11,232$$

pero sé que la puntuación correcta es 5616. ¿dónde me equivoco?

Answer 1

Primero, $$13\binom43\cdot12\binom42\cdot2=7488\;,$$ no $11,232$ ; $$13\binom43\cdot12\binom42\cdot3=11,232\;.$$

De hecho, hay $$13\binom43\cdot12\binom42=3744$$ casas llenas que no utilizan ninguno de los comodines. Ahora contaremos los plenos que sí incluyen al menos un comodín.

Si los dos comodines están presentes en una mano que no contiene una pareja, la mano no puede interpretarse como un full, y si los dos comodines están presentes en una mano que contiene una pareja, se utilizarán para hacer un cuatro del mismo palo, que supera a un full; por lo tanto, podemos suponer que la mano contiene sólo un comodín.

Si la mano también contiene un "honesto" tres del mismo tipo, el comodín se utilizará para hacer cuatro del mismo tipo, por lo que podemos suponer que la mano consta de dos parejas y un comodín. Hay $\binom{13}2$ formas de elegir las denominaciones de los pares, y para cada una de esas denominaciones hay $\binom42$ formas de elegir $2$ tarjetas de esa denominación. Por último, hay $2$ formas de elegir el comodín, por lo que hay en total

$$\binom{13}2\cdot\binom42^2\cdot2=5616$$

casas completas de este tipo. Tenga en cuenta que no quiere multiplicar por otro factor de $2$ para tener en cuenta el hecho de que el comodín podría combinarse con cualquiera de las parejas para hacer un trío: siempre se combinará la pareja más alta. Por lo tanto, el total general es

$$3744+5616=9360\;.$$